Questão 171 do ENEM 2017 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender o movimento que cada torre faz. Como o pivô gira em torno de uma base fixa, cada torre ($T_1$, $T_2$ e $T_3$) descreve uma trajetória circular. A velocidade linear de cada torre dependerá da distância que ela percorre (o comprimento da circunferência) e do tempo que ela leva para dar uma volta completa.

Determinando o raio da trajetória de cada torre

O enunciado nos diz que a distância da base até a torre $T_1$ é de $50 \text{ m}$, e a distância entre as torres consecutivas também é de $50 \text{ m}$. Assim, podemos determinar o raio ($R$) da trajetória de cada uma em relação à base:

• Raio da torre $T_1$: $R_1 = 50 \text{ m}$
• Raio da torre $T_2$: $R_2 = 50 + 50 = 100 \text{ m}$
• Raio da torre $T_3$: $R_3 = 100 + 50 = 150 \text{ m}$

Calculando a distância percorrida em uma volta

A distância que cada torre percorre ao dar uma volta completa é exatamente o perímetro da circunferência que ela descreve, dado pela fórmula: $C = 2 \cdot \pi \cdot R$

Como a questão pede para usarmos a aproximação $\pi = 3$, vamos calcular o comprimento da trajetória de cada torre:

• Para $T_1$: $C_1 = 2 \cdot 3 \cdot 50 = 300 \text{ m}$
• Para $T_2$: $C_2 = 2 \cdot 3 \cdot 100 = 600 \text{ m}$
• Para $T_3$: $C_3 = 2 \cdot 3 \cdot 150 = 900 \text{ m}$

Calculando as velocidades

A velocidade escalar média ($v$) é a razão entre a distância percorrida ($\Delta S$) e o tempo gasto ($\Delta t$). Sabemos que o pivô efetua uma volta completa em $25 \text{ h}$, ou seja, $\Delta t = 25 \text{ h}$ para todas as torres.

Agora, basta dividir a distância percorrida por cada torre pelo tempo:

• Velocidade de $T_1$: $v_1 = \frac{300}{25} = 12 \text{ m/h}$

• Velocidade de $T_2$: $v_2 = \frac{600}{25} = 24 \text{ m/h}$

• Velocidade de $T_3$: $v_3 = \frac{900}{25} = 36 \text{ m/h}$

Dica extra: Note que, como todas as torres completam a volta no mesmo tempo (possuem a mesma velocidade angular), a velocidade linear é diretamente proporcional ao raio. Como os raios são $50 \text{ m}$, $100 \text{ m}$ e $150 \text{ m}$ (proporção $1 : 2 : 3$), as velocidades também seguem essa proporção ($12 : 24 : 36$).

Portanto, as velocidades das torres $T_1$, $T_2$ e $T_3$ devem ser, respectivamente, $12 \text{ m/h}$, $24 \text{ m/h}$ e $36 \text{ m/h}$.