Questão 155 do ENEM 2009 — Matemática

Para encontrar a expressão que relaciona o valor arrecadado $V$ com o desconto $x$, precisamos lembrar que o faturamento (ou arrecadação) é sempre o produto entre o preço de venda de cada unidade e a quantidade total de unidades vendidas. Ou seja:

$V = \text{Preço} \times \text{Quantidade}$

Vamos analisar como o desconto $x$ afeta o preço e a quantidade.

O enunciado nos diz que $x$ é o valor do desconto em centavos. Como o preço original do litro do álcool está em reais (R$$1,50$), precisamos converter o desconto para reais também. Um centavo equivale a R$ $0,01$, então um desconto de $x$ centavos corresponde a $0,01x$ reais. Assim, o novo preço do litro de álcool será:

$\text{Preço} = 1,50 - 0,01x$

Agora, vamos olhar para a quantidade vendida. Originalmente, vendem-se $10.000$ litros por dia. O problema afirma que, para cada centavo de desconto (ou seja, para cada unidade de $x$), são vendidos $100$ litros a mais. Portanto, a nova quantidade vendida por dia será:

$\text{Quantidade} = 10.000 + 100x$

Substituindo essas duas expressões na fórmula do faturamento, temos:

$V = (1,50 - 0,01x) \cdot (10.000 + 100x)$

Para chegar à expressão final, aplicamos a propriedade distributiva (o famoso "chuveirinho"):

$V = 1,50 \cdot 10.000 + 1,50 \cdot 100x - 0,01x \cdot 10.000 - 0,01x \cdot 100x$

Fazendo as multiplicações passo a passo:

• $1,50 \cdot 10.000 = 15.000$
• $1,50 \cdot 100x = 150x$
• $-0,01x \cdot 10.000 = -100x$
• $-0,01x \cdot 100x = -x^2$

Juntando todos os termos, ficamos com:

$V = 15.000 + 150x - 100x - x^2$

Por fim, simplificamos os termos semelhantes ($150x - 100x = 50x$):

$V = 15.000 + 50x - x^2$

Essa é a expressão quadrática que relaciona a arrecadação diária $V$ com o desconto $x$ em centavos.