Questão 167 do ENEM 2021 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos determinar a altura de um reservatório cilíndrico capaz de armazenar água suficiente para abastecer um povoado durante um período específico. Vamos dividir o problema em duas partes principais: descobrir o volume total de água necessário e, em seguida, usar a geometria do cilindro para encontrar a altura.

Calculando a demanda de água

Primeiro, vamos calcular o volume total de água que a população consumirá nos $7$ dias. O enunciado nos fornece os seguintes dados:

• População: $100$ habitantes
• Consumo diário por habitante: $120$ litros
• Tempo de abastecimento: $7$ dias

O volume total em litros ($V_{\text{litros}}$) será a multiplicação desses três valores: $V_{\text{litros}} = 100 \cdot 120 \cdot 7$ $V_{\text{litros}} = 12\,000 \cdot 7$ $V_{\text{litros}} = 84\,000 \text{ litros}$

Como as medidas do reservatório estão em metros, precisamos converter esse volume de litros para metros cúbicos ($\text{m}^3$). Sabemos que $1 \text{ m}^3$ equivale a $1\,000$ litros. Portanto, basta dividir o valor por $1\,000$: $V = \frac{84\,000}{1\,000} = 84 \text{ m}^3$

Encontrando as dimensões do cilindro

O reservatório tem o formato de um cilindro circular reto. A fórmula do volume do cilindro é dada pelo produto da área da base ($A_b$) pela sua altura ($h$): $V = A_b \cdot h$

A base do cilindro é um círculo, cuja área é calculada por: $A_b = \pi \cdot r^2$

Aqui, precisamos ter muito cuidado com uma armadilha clássica: o enunciado nos dá o diâmetro da base, que é de $5 \text{ m}$. O raio ($r$) é sempre a metade do diâmetro. Logo: $r = \frac{5}{2} = 2,5 \text{ m}$

Agora, substituímos o valor do raio e a aproximação de $\pi = 3$ (dada no enunciado) na fórmula da área da base: $A_b = 3 \cdot (2,5)^2$ $A_b = 3 \cdot 6,25$ $A_b = 18,75 \text{ m}^2$

Calculando a altura mínima

Com o volume total necessário ($V = 84 \text{ m}^3$) e a área da base ($A_b = 18,75 \text{ m}^2$), podemos finalmente encontrar a altura ($h$) do reservatório. Substituindo na fórmula do volume: $84 = 18,75 \cdot h$ $h = \frac{84}{18,75}$

Para facilitar a divisão e eliminar a vírgula, podemos multiplicar o numerador e o denominador por $100$: $h = \frac{8\,400}{1\,875}$

Simplificando a fração (dividindo por $25$, por exemplo): $h = \frac{336}{75}$

Realizando a divisão final: $h = 4,48 \text{ m}$

Portanto, a altura interna mínima do reservatório deverá ser de $4,48 \text{ m}$ para comportar toda a água necessária.