Questão 155 do ENEM 2022 — Matemática

ENEM 2022Matemática1ª aplicação

Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar, está com todos os seus apartamentos à venda. Os apartamentos são identificados por números formados por dois algarismos, sendo que a dezena indica o andar onde se encontra o apartamento, e a unidade, um algarismo de 1 a 8, que diferencia os apartamentos de um mesmo andar. Quanto à incidência de sol nos quartos desses apartamentos, constatam-se as seguintes características, em função de seus números de identificação:
• naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã;
• naqueles que finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã;
• naqueles que finalizam em 7 ou 8, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da tarde.

Uma pessoa pretende comprar 2 desses apartamentos em um mesmo andar, mas quer que, em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã.

De quantas maneiras diferentes essa pessoa poderá escolher 2 desses apartamentos para compra nas condições desejadas?
A
\( 9 \times \frac{6!}{(6-2)!} \)
\(9 \times \frac{6!}{(6-2)! \times 2!}\)
Resposta correta
C
\(9 \times \frac{4!}{(4-2)! \times 2!}\)
D
\(9 \times \frac{2!}{(2-2)! \times 2!}\)
E
\[9 \times \left( \frac{8!}{(8-2)! \times 2!} - 1 \right)\]
Gabarito oficial: alternativa B

Resolução comentada

Entendendo as condições de escolha

O comprador quer adquirir 22 apartamentos no mesmo andar, exigindo que, em cada um deles, pelo menos um dos quartos receba sol pela manhã. O primeiro passo é descobrir quais apartamentos, dentro de um andar, cumprem essa exigência.

Em cada andar os apartamentos têm finais de 11 a 88. Vamos classificá-los:

  • Finais 11 ou 22: ambos os quartos recebem sol pela manhã. Se ambos recebem, então "pelo menos um" recebe. Logo, servem.
  • Finais 3,4,53, 4, 5 ou 66: apenas um quarto recebe sol pela manhã. Um já é suficiente para atender "pelo menos um". Logo, servem.
  • Finais 77 ou 88: só recebem sol à tarde. Nenhum quarto de manhã, então não servem.

Contando os que servem: finais 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5 e 66. São 66 apartamentos favoráveis por andar.

Escolhendo 2 apartamentos dentro de um andar

Agora precisamos escolher 22 apartamentos entre os 66 disponíveis. A pergunta-chave em combinatória é: a ordem da escolha importa?

Comprar o apartamento de final 11 e depois o de final 22 resulta exatamente no mesmo par de imóveis que comprar o de final 22 e depois o de final 11. Como a ordem não muda o conjunto comprado, usamos combinação simples.

A combinação de nn elementos tomados pp a pp é: Cn,p=n!(n−p)!×p!C_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)! \times p!}

Com n=6n = 6 (apartamentos favoráveis) e p=2p = 2 (a serem escolhidos): C6,2=6!(6−2)!×2!C_{6,2} = \frac{6!}{(6-2)! \times 2!}

Repare que o fator 2!2! no denominador é exatamente o que elimina as contagens repetidas por ordem. Sem ele, teríamos um arranjo (a armadilha da alternativa A).

Considerando o prédio inteiro

Até aqui contamos as escolhas dentro de um andar. Como o prédio tem 99 andares e a compra pode acontecer em qualquer um deles, aplicamos o princípio multiplicativo, multiplicando as combinações de um andar pelo número de andares: Total=9×6!(6−2)!×2!\text{Total} = 9 \times \frac{6!}{(6-2)! \times 2!}

Essa expressão corresponde exatamente à alternativa B.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2022 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.