Questão 172 do ENEM 2014 — Matemática

Quando acrescentamos novas posições a uma senha, o total de senhas se multiplica pelas possibilidades dessas novas posições. Esse é o Princípio Fundamental da Contagem: se cada senha antiga pode ser combinada com cada opção nova, os totais se multiplicam.

Vamos analisar quantas opções existem para preencher as duas novas vagas (uma no início e outra no final da senha). O enunciado diz que os novos caracteres devem ser vogais e que o sistema diferencia maiúsculas de minúsculas.

O alfabeto possui $5$ vogais (A, E, I, O, U). Como há distinção entre maiúsculas e minúsculas, para cada posição temos:

• $5$ opções de vogais maiúsculas: A, E, I, O, U;
• $5$ opções de vogais minúsculas: a, e, i, o, u.

Isso dá um total de $5 + 5 = 10$ opções distintas para cada novo caractere.

Agora aplicamos o Princípio Multiplicativo às duas novas posições:

• para o caractere do início, há $10$ opções;
• para o caractere do final, também há $10$ opções (o enunciado não proíbe repetição).

Multiplicando as possibilidades das duas posições, obtemos o fator pelo qual o número de senhas será multiplicado:

$10 \times 10 = 100$

Portanto, o número de senhas possíveis ficará multiplicado por $100$, o que corresponde à alternativa A.