Questão 152 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos acompanhar o caminho do líquido e entender como o seu volume se transforma ao sair do tanque $T_1$ e chegar ao tanque $T_2$. A chave da questão é o princípio da conservação, mas com um detalhe: o volume não se conserva exatamente igual, ele sofre aumentos percentuais no meio do caminho.

Analisando os volumes dos tanques

Primeiro, vamos expressar o volume de líquido que sai de $T_1$ e o volume que chega a $T_2$. Como os tanques são prismas retos de base retangular, o volume é calculado multiplicando a área da base pela altura do líquido.

Para o tanque $T_1$, a base tem comprimento $c$ e largura $L$. A altura da coluna de líquido que saiu é $x$. Portanto, o volume que saiu ($V_1$) é: $V_1 = (c \cdot L) \cdot x$

Para o tanque $T_2$, a base tem comprimento $\frac{c}{2}$ e largura $2L$. A altura da coluna de líquido que chegou é $y$. O volume que chegou ($V_2$) é: $V_2 = \left(\frac{c}{2} \cdot 2L\right) \cdot y$

Simplificando a expressão da área da base de $T_2$, cortamos o $2$ do denominador com o $2$ do numerador, e percebemos algo muito importante: a área da base de $T_2$ também é $c \cdot L$. Logo: $V_2 = (c \cdot L) \cdot y$

O efeito dos aeradores (Aumentos Sucessivos)

O líquido que saiu de $T_1$ não chega com o mesmo volume em $T_2$. Ele passa por dois aeradores que injetam ar, aumentando esse volume.

O aerador $A_1$ aumenta o volume em $15\%$. Na matemática financeira e na porcentagem, dar um aumento de $15\%$ é o mesmo que multiplicar o valor original por $1,15$ (que é $100\% + 15\%$).

Em seguida, o aerador $A_2$ aumenta o novo volume em $10\%$. Isso significa multiplicar por $1,10$.

Aqui mora a principal armadilha da questão: não podemos simplesmente somar as porcentagens ($15\% + 10\% = 25\%$). Como os aumentos são sucessivos (um incide sobre o resultado do outro), devemos multiplicar os fatores de aumento: $\text{Fator Total} = 1,15 \cdot 1,10 = 1,265$

Isso significa que o volume final que chega em $T_2$ é $1,265$ vezes o volume que saiu de $T_1$.

Relacionando as alturas $x$ e $y$

Agora, basta montarmos a equação final igualando o volume que chegou a $T_2$ com o volume que saiu de $T_1$ já com o aumento total aplicado: $V_2 = 1,265 \cdot V_1$

Substituindo as expressões de volume que encontramos no início: $(c \cdot L) \cdot y = 1,265 \cdot (c \cdot L) \cdot x$

Como a área da base $(c \cdot L)$ aparece multiplicando dos dois lados da igualdade e sabemos que ela é diferente de zero (pois os tanques têm dimensões reais), podemos simplificá-la (cortar de ambos os lados): $y = 1,265x$

Essa é a equação que relaciona a altura da coluna de líquido que chegou a $T_2$ com a altura da coluna que saiu de $T_1$. Analisando as alternativas, encontramos exatamente essa relação na alternativa A.