Questão 167 do ENEM 2016 — Matemática

Compreensão do Problema

O problema nos fornece a variância da produtividade de fazendas de café em uma unidade específica ($\text{kg}^2/\text{ha}^2$) e pede que essa variância seja convertida para outra unidade ($\text{sacas}^2/\text{ha}^2$).

Sabemos que:

• Variância original: $9\ 216\ \text{kg}^2/\text{ha}^2$
• Relação entre as unidades de massa: $1\ \text{saca} = 60\ \text{kg}$

Conceitos Relevantes

Existem duas formas principais de pensar sobre essa conversão: usando propriedades da variância ou usando conversão direta de unidades.

Pela conversão de unidades: Como queremos transformar $\text{kg}^2$ em $\text{sacas}^2$, precisamos elevar a relação de conversão ao quadrado. Se $1\ \text{saca} = 60\ \text{kg}$, então, ao elevarmos ambos os lados ao quadrado, temos: $(1\ \text{saca})^2 = (60\ \text{kg})^2 \implies 1\ \text{saca}^2 = 3\ 600\ \text{kg}^2$

Pelas propriedades da variância: Seja $X$ a produtividade em $\text{kg}/\text{ha}$. A variância de $X$ é $\text{Var}(X) = 9\ 216$. Seja $Y$ a produtividade em $\text{sacas}/\text{ha}$. Como cada saca tem $60\ \text{kg}$, para passar de $\text{kg}$ para sacas, dividimos por $60$. Ou seja, $Y = \frac{X}{60}$. Uma propriedade fundamental da variância nos diz que, ao multiplicarmos ou dividirmos todos os dados por uma constante $k$, a variância fica multiplicada ou dividida por $k^2$. Portanto: $\text{Var}(Y) = \text{Var}\left(\frac{X}{60}\right) = \frac{\text{Var}(X)}{60^2}$

Cálculo da Nova Variância

Usando qualquer um dos raciocínios acima, chegamos à mesma conta. Precisamos dividir o valor original por $60^2$:

$60^2 = 3\ 600$

Agora, dividimos a variância original por $3\ 600$:

$\text{Nova Variância} = \frac{9\ 216}{3\ 600}$

Para facilitar a divisão, podemos simplificar a fração ou fazer a divisão direta: $\frac{9\ 216}{3\ 600} = \frac{92,16}{36}$

Realizando a divisão: $92,16 \div 36 = 2,56$

Portanto, a variância expressa na nova unidade é de $2,56\ \text{sacas}^2/\text{ha}^2$.

Conclusão

A variância das produtividades das fazendas de café expressa em $\text{sacas}^2/\text{ha}^2$ é $2,56$. Isso corresponde à alternativa D.