Questão 158 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender a diferença fundamental entre área e produção. O fazendeiro deseja aumentar a sua produção total em $15\%$, e não simplesmente a área de sua propriedade. Como as terras possuem produtividades diferentes, não podemos apenas calcular $15\%$ de $160$ hectares (o que resultaria em $24$ hectares e nos levaria à armadilha da alternativa D).

Vamos organizar as informações. O enunciado define que a produtividade é a razão entre a produção e a área cultivada. Podemos reescrever essa relação como: $\text{Produção} = \text{Área} \times \text{Produtividade}$

Como não sabemos o valor exato da produtividade em toneladas por hectare, vamos atribuir uma variável. Chamaremos a produtividade da área de menor rendimento (os $120$ hectares) de $p$.

O texto nos diz que a área de $40$ hectares tem uma produtividade $2,5$ vezes maior que a outra. Portanto, a produtividade dessa área menor, mas mais eficiente, será $2,5p$.

Agora, vamos calcular a produção atual de cada parte da fazenda em função de $p$:

• Área de menor produtividade: $120 \text{ hectares} \times p = 120p$
• Área de maior produtividade: $40 \text{ hectares} \times 2,5p = 100p$

Somando essas duas partes, encontramos a produção total atual do fazendeiro: $\text{Produção Total} = 120p + 100p = 220p$

O objetivo do fazendeiro é aumentar essa produção total em $15\%$. Vamos calcular quanto representa esse aumento na prática: $\text{Aumento} = 15\% \text{ de } 220p$ $\text{Aumento} = 0,15 \times 220p = 33p$

Isso significa que o fazendeiro precisa de uma produção extra equivalente a $33p$.

Para conseguir esse aumento, ele comprará terras de uma fazenda vizinha. O detalhe crucial aqui é que essa nova terra possui a mesma produtividade da sua área de menor rendimento, ou seja, a produtividade da terra nova também é $p$.

Para descobrir a área mínima que ele precisa comprar, basta dividir a produção extra que ele deseja alcançar pela produtividade da nova terra: $\text{Nova Área} = \frac{\text{Produção Desejada}}{\text{Produtividade}}$ $\text{Nova Área} = \frac{33p}{p} = 33 \text{ hectares}$

Portanto, o produtor precisará comprar $33$ hectares de terra para atingir exatamente a sua meta de aumentar a produção em $15\%$.