Questão 171 do ENEM 2023 — Matemática

Compreensão do Problema

O problema nos pede para encontrar a escala linear utilizada na construção de uma maquete de uma piscina olímpica. A escala linear, que chamaremos de $k$, é a razão entre uma medida de comprimento na maquete e a medida correspondente na realidade.

Relação entre Escala Linear e Volume

Quando trabalhamos com escalas, é fundamental lembrar como elas afetam as diferentes dimensões de um objeto:

• Comprimento (1D): multiplicado pela escala $k$.
• Área (2D): multiplicada pela escala ao quadrado $k^2$.
• Volume (3D): multiplicado pela escala ao cubo $k^3$.

Portanto, a razão entre o volume da maquete ($V_{\text{maquete}}$) e o volume real ($V_{\text{real}}$) é igual a $k^3$: $k^3 = \frac{V_{\text{maquete}}}{V_{\text{real}}}$

Padronização das Unidades

Para calcularmos essa razão, precisamos que ambos os volumes estejam na mesma unidade de medida. O volume da maquete já foi dado em centímetros cúbicos: $V_{\text{maquete}} = 2\ 500\text{ cm}^3$

O volume real da piscina é de $2\ 500\ 000\text{ L}$. O enunciado nos informa que $1\text{ L} = 10^3\text{ cm}^3$ (ou seja, $1\ 000\text{ cm}^3$). Vamos converter o volume real para centímetros cúbicos: $V_{\text{real}} = 2\ 500\ 000 \times 1\ 000\text{ cm}^3$ $V_{\text{real}} = 2\ 500\ 000\ 000\text{ cm}^3$

Cálculo da Escala

Agora, substituímos os valores na nossa relação de volumes: $k^3 = \frac{2\ 500}{2\ 500\ 000\ 000}$

Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por $2\ 500$: $k^3 = \frac{1}{1\ 000\ 000}$

Para encontrar a escala linear $k$, basta extrair a raiz cúbica de ambos os lados da equação: $k = \sqrt[3]{\frac{1}{1\ 000\ 000}}$ $k = \frac{1}{100}$

Isso significa que a escala utilizada pelo professor foi de $1 : 100$.