Questão 145 do ENEM 2014 — Matemática

O enunciado nos diz que o professor quer usar uma função polinomial $f$ de grau menor que $3$. Isso significa que a função pode ser do 1º grau ($f(x) = ax + b$) ou do 2º grau ($f(x) = ax^2 + bx + c$). Como a forma mais geral para um grau menor que $3$ é a função quadrática, vamos assumir que a lei de formação seja:

$y = ax^2 + bx + c$

Onde $x$ é a nota original e $y$ é a nova nota. O problema nos fornece três informações cruciais sobre como as notas foram alteradas, o que nos dá três pontos $(x, y)$:

1. A nota $0$ permanece $0$: quando $x = 0$, temos $y = 0$.
2. A nota $10$ permanece $10$: quando $x = 10$, temos $y = 10$.
3. A nota $5$ passa a ser $6$: quando $x = 5$, temos $y = 6$.

Agora, vamos substituir esses valores na nossa função geral para encontrar os coeficientes $a$, $b$ e $c$.

Encontrando o coeficiente $c$

Usando a primeira informação ($x = 0$ e $y = 0$): $0 = a(0)^2 + b(0) + c$ $c = 0$

Sabendo que $c = 0$, nossa função fica mais simples: $y = ax^2 + bx$.

Montando o sistema de equações

Vamos usar as outras duas informações para encontrar $a$ e $b$.

Para a nota $10$ que permanece $10$ ($x = 10$ e $y = 10$): $10 = a(10)^2 + b(10)$ $100a + 10b = 10$ Podemos simplificar essa equação dividindo tudo por $10$: $10a + b = 1 \quad \text{(Equação 1)}$

Para a nota $5$ que passa a ser $6$ ($x = 5$ e $y = 6$): $6 = a(5)^2 + b(5)$ $25a + 5b = 6 \quad \text{(Equação 2)}$

Resolvendo o sistema

Temos o seguinte sistema linear: $\begin{cases} 10a + b = 1 \\ 25a + 5b = 6 \end{cases}$

Podemos isolar o $b$ na Equação 1: $b = 1 - 10a$

Agora, substituímos esse valor de $b$ na Equação 2: $25a + 5(1 - 10a) = 6$ $25a + 5 - 50a = 6$ $-25a + 5 = 6$ $-25a = 6 - 5$ $-25a = 1$ $a = -\frac{1}{25}$

Com o valor de $a$ em mãos, voltamos na expressão onde isolamos o $b$ para encontrar seu valor: $b = 1 - 10\left(-\frac{1}{25}\right)$ $b = 1 + \frac{10}{25}$ Simplificando a fração $\frac{10}{25}$ por $5$, temos $\frac{2}{5}$: $b = 1 + \frac{2}{5}$ $b = \frac{5}{5} + \frac{2}{5}$ $b = \frac{7}{5}$

Conclusão

Agora que encontramos $a = -\frac{1}{25}$, $b = \frac{7}{5}$ e $c = 0$, basta substituir esses valores na estrutura da nossa função: $y = -\frac{1}{25}x^2 + \frac{7}{5}x$

Essa é exatamente a expressão apresentada na alternativa A.