Um programa de televisão criou um perfil em uma rede social, e a ideia era que esse perfil fosse sorteado para um dos seguidores, quando esses fossem em número de um milhão. Agora que essa quantidade de seguidores foi atingida, os organizadores perceberam que apenas 80% deles são realmente fãs do programa. Por conta disso, resolveram que todos os seguidores farão um teste, com perguntas objetivas referentes ao programa, e só poderão participar do sorteio aqueles que forem aprovados. Estatísticas revelam que, num teste dessa natureza, a taxa de aprovação é de 90% dos fãs e de 15% dos que não são fãs. De acordo com essas informações, a razão entre a probabilidade de que um fã seja sorteado e a probabilidade de que o sorteado seja alguém que não é fã do programa é igual a

Questão 155 do ENEM 2017 (Matemática)

Para resolver essa questão, precisamos descobrir quantas pessoas de cada grupo (fãs e não fãs) realmente participarão do sorteio. Como o sorteio será feito apenas entre os aprovados no teste, a probabilidade de um grupo ser sorteado é proporcional ao número de pessoas desse grupo que passaram.

O enunciado nos diz que a página atingiu a marca de $1.000.000$ de seguidores. Vamos dividir esse total nos dois grupos iniciais:

Fãs: representam $80\%$ do total. Calculando, temos $0,80 \times 1.000.000 = 800.000$ fãs.
Não fãs: representam os $20\%$ restantes. Calculando, temos $0,20 \times 1.000.000 = 200.000$ não fãs.

Agora, vamos calcular quantos seguidores de cada grupo foram aprovados no teste e, portanto, estão aptos para o sorteio.

Para os fãs aprovados: A taxa de aprovação entre os fãs é de $90\%$ . Então, calculamos $90\%$ de $800.000$ : $\text{Fãs aprovados} = 0,90 \times 800.000 = 720.000$

Para os não fãs aprovados: A taxa de aprovação entre os que não são fãs é de $15\%$ . Calculamos $15\%$ de $200.000$ : $\text{Não fãs aprovados} = 0,15 \times 200.000 = 30.000$

O comando da questão pede a razão entre a probabilidade de o sorteado ser um fã e a probabilidade de ser alguém que não é fã. Como o sorteio é aleatório entre todos os aprovados, essas probabilidades são diretamente proporcionais ao número de pessoas em cada grupo.

Assim, basta dividirmos o número de fãs aprovados pelo número de não fãs aprovados: $\text{Razão} = \frac{720.000}{30.000}$

Simplificando a fração (cortando os quatro zeros do numerador e do denominador): $\text{Razão} = \frac{72}{3} = 24$

Portanto, a probabilidade de sortear um fã é $24$ vezes maior do que a de sortear um não fã.

Questão 155 do ENEM 2017 — Matemática

Resolução comentada