Questão 158 do ENEM 2018 — Matemática

Queremos a equação da parábola que descreve a trajetória do projétil. Vamos extrair os pontos-chave do enunciado.

O projétil sai do canhão em $(150; 0)$ e atinge o solo em $(0; 0)$. Nesses dois pontos a altura $y$ vale zero, então eles são exatamente as raízes da função quadrática: $x_1 = 0$ e $x_2 = 150$.

Conhecendo as raízes, usamos a forma fatorada da equação do 2º grau: $y = a(x - x_1)(x - x_2)$

Substituindo as raízes: $y = a(x - 0)(x - 150)$ $y = a \cdot x \cdot (x - 150)$

Falta determinar o coeficiente $a$, e para isso precisamos de mais um ponto. O enunciado diz que a altura máxima é $25$ m, valor que ocorre no vértice da parábola.

A abscissa do vértice fica no ponto médio entre as raízes, por simetria: $x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{0 + 150}{2} = 75$

A ordenada do vértice é a altura máxima, $y_v = 25$. Logo, o vértice é $V(75; 25)$.

Substituindo o vértice na equação para achar $a$: $25 = a \cdot 75 \cdot (75 - 150)$ $25 = a \cdot 75 \cdot (-75)$ $25 = -5\,625\,a$ $a = -\frac{25}{5\,625} = -\frac{1}{225}$

Voltando à equação com esse valor de $a$: $y = -\frac{1}{225} \cdot x \cdot (x - 150)$ $y = -\frac{1}{225}(x^2 - 150x)$

Para chegar ao formato das alternativas, multiplicamos ambos os lados por $225$ e distribuímos o sinal: $225y = -(x^2 - 150x)$ $225y = 150x - x^2$

Essa é exatamente a alternativa E.