Questão 155 do ENEM 2024 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender exatamente o que o proprietário deseja: ele quer um sensor que cubra uma área de no mínimo $70 \text{ m}^2$. Além disso, como o preço do sensor aumenta conforme a área de cobertura aumenta, ele deve escolher a opção que atenda a esse requisito mínimo, mas que tenha a menor área possível entre as opções válidas, garantindo assim o menor preço.

A Fórmula da Área de Cobertura

A área de cobertura do sensor tem o formato de um setor circular. A área de um setor circular é uma fração da área total de um círculo ($A = \pi \cdot R^2$). Essa fração é determinada pela razão entre o ângulo do setor ($\alpha$) e o ângulo de uma volta completa ($360^\circ$).

Assim, a fórmula que usaremos é: $A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot R^2$

O enunciado nos pede para usar $\pi \approx 3$. Agora, vamos calcular a área de cobertura para cada um dos cinco tipos de sensores disponíveis.

Calculando a Área de Cada Sensor

Tipo I: $\alpha = 15^\circ$ e $R = 20 \text{ m}$ $A_I = \frac{15^\circ}{360^\circ} \cdot 3 \cdot 20^2$ $A_I = \frac{1}{24} \cdot 3 \cdot 400 = \frac{3}{24} \cdot 400 = \frac{1}{8} \cdot 400 = 50 \text{ m}^2$ Como $50 \text{ m}^2 < 70 \text{ m}^2$, o sensor I não serve.

Tipo II: $\alpha = 30^\circ$ e $R = 22 \text{ m}$ $A_{II} = \frac{30^\circ}{360^\circ} \cdot 3 \cdot 22^2$ $A_{II} = \frac{1}{12} \cdot 3 \cdot 484 = \frac{3}{12} \cdot 484 = \frac{1}{4} \cdot 484 = 121 \text{ m}^2$ Como $121 \text{ m}^2 \ge 70 \text{ m}^2$, o sensor II serve.

Tipo III: $\alpha = 40^\circ$ e $R = 12 \text{ m}$ $A_{III} = \frac{40^\circ}{360^\circ} \cdot 3 \cdot 12^2$ $A_{III} = \frac{1}{9} \cdot 3 \cdot 144 = \frac{3}{9} \cdot 144 = \frac{1}{3} \cdot 144 = 48 \text{ m}^2$ Como $48 \text{ m}^2 < 70 \text{ m}^2$, o sensor III não serve.

Tipo IV: $\alpha = 60^\circ$ e $R = 16 \text{ m}$ $A_{IV} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 3 \cdot 16^2$ $A_{IV} = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 256 = \frac{3}{6} \cdot 256 = \frac{1}{2} \cdot 256 = 128 \text{ m}^2$ Como $128 \text{ m}^2 \ge 70 \text{ m}^2$, o sensor IV serve.

Tipo V: $\alpha = 90^\circ$ e $R = 10 \text{ m}$ $A_V = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot 3 \cdot 10^2$ $A_V = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 100 = \frac{3}{4} \cdot 100 = 3 \cdot 25 = 75 \text{ m}^2$ Como $75 \text{ m}^2 \ge 70 \text{ m}^2$, o sensor V serve.

Conclusão

Os sensores que conseguem cobrir a área mínima de $70 \text{ m}^2$ são os dos tipos II ($121 \text{ m}^2$), IV ($128 \text{ m}^2$) e V ($75 \text{ m}^2$).

Como o proprietário deseja gastar o menor preço possível, e sabemos que o preço aumenta junto com a área, devemos escolher o sensor que possui a menor área dentre os que atendem à exigência.

Comparando as áreas válidas ($121 \text{ m}^2$, $128 \text{ m}^2$ e $75 \text{ m}^2$), a menor delas é $75 \text{ m}^2$, que corresponde ao sensor do tipo V.