Questão 179 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolver, precisamos entender como os triângulos se relacionam em tamanho. O enunciado diz que todas as peças são triângulos retângulos isósceles e que a menor delas tem catetos medindo $2\text{ cm}$.

Em um triângulo retângulo isósceles, os dois catetos têm a mesma medida, e a hipotenusa é o cateto multiplicado por $\sqrt{2}$. Ou seja, se o cateto mede $x$, a hipotenusa mede $x\sqrt{2}$ (isso vem do Teorema de Pitágoras: $x^2 + x^2 = 2x^2$, cuja raiz é $x\sqrt{2}$).

Esse tipo de montagem funciona por encaixe sucessivo: a hipotenusa de um triângulo passa a ser o cateto do triângulo imediatamente maior. Assim, as medidas dos catetos formam uma progressão geométrica de razão $\sqrt{2}$. Acompanhando a sequência a partir do menor triângulo:

• Cateto do $1^\circ$: $2$
• Cateto do $2^\circ$: $2\sqrt{2}$
• Cateto do $3^\circ$: $2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 4$
• Cateto do $4^\circ$: $4\sqrt{2}$
• Cateto do $5^\circ$: $4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 8$

Repare que os catetos de valor inteiro aparecem alternadamente: $2$, $4$, $8$ (o $1^\circ$, o $3^\circ$ e o $5^\circ$ da sequência). Nesse tipo de quebra-cabeça, é a soma desses catetos alinhados que compõe o lado do quadrado — enquanto as medidas irracionais ($2\sqrt{2}$, $4\sqrt{2}$) correspondem às hipotenusas internas, que ficam na diagonal e não se somam ao longo do lado.

Assim, o lado do quadrado é a soma dos catetos inteiros:

$L = 2 + 4 + 8 = 14\text{ cm}$

Uma forma de confirmar que a resposta deve ser inteira: as alternativas com $\sqrt{2}$ misturariam medidas de catetos com hipotenusas ao longo de um mesmo lado reto, o que não acontece quando as peças se encaixam formando o quadrado. Portanto, o quebra-cabeça montado resulta em um quadrado de lado $14\text{ cm}$.