Questão 156 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos organizar as informações como se estivéssemos montando um quebra-cabeça lógico com os $21$ dias letivos. Vamos imaginar os horários de chegada do rapaz em uma lista ordenada de forma crescente, do mais cedo para o mais tarde.

A Posição da Mediana

Como temos um total de $21$ dias (um número ímpar), a mediana será exatamente o valor central dessa lista ordenada. A posição do termo central é dada por: $\frac{21 + 1}{2} = 11$ Isso significa que o $11^{\circ}$ dia registrado corresponde à mediana, que o enunciado afirma ser $6\text{h } 22\text{min}$. Como a lista está em ordem crescente, do $11^{\circ}$ ao $21^{\circ}$ dia, os horários são $6\text{h } 22\text{min}$ ou mais tarde. Logo, os horários iguais ou anteriores a $6\text{h } 21\text{min}$ só podem ocupar as primeiras $10$ posições da nossa lista (do $1^{\circ}$ ao $10^{\circ}$ dia).

Analisando os Horários Anteriores

O rapaz nunca chega antes das $6\text{h } 15\text{min}$. Portanto, os horários possíveis antes das $6\text{h } 21\text{min}$ são exatamente $6$ opções: $6\text{h } 15\text{min}$, $6\text{h } 16\text{min}$, $6\text{h } 17\text{min}$, $6\text{h } 18\text{min}$, $6\text{h } 19\text{min}$ e $6\text{h } 20\text{min}$.

Temos $10$ vagas para preencher com o horário $6\text{h } 21\text{min}$ e com esses horários anteriores. O nosso objetivo é maximizar a quantidade de dias com horários anteriores a $6\text{h } 21\text{min}$. Para isso, o horário $6\text{h } 21\text{min}$ deve aparecer o mínimo de vezes possível, mas com uma condição crucial: ele ainda precisa ser a moda (o valor que mais se repete, de forma isolada).

O Princípio da Casa dos Pombos

Vamos testar as possibilidades para a quantidade de vezes que o $6\text{h } 21\text{min}$ aparece:

Se o $6\text{h } 21\text{min}$ aparecer apenas $1$ vez: Sobrariam $9$ vagas para os horários anteriores. Como temos apenas $6$ opções de horários anteriores, inevitavelmente algum deles teria que se repetir pelo menos $2$ vezes. Assim, esse horário repetido ganharia do $6\text{h } 21\text{min}$, e este deixaria de ser a moda.

Se o $6\text{h } 21\text{min}$ aparecer $2$ vezes: Sobrariam $8$ vagas para os $6$ horários anteriores. Se tentarmos distribuir $8$ dias em $6$ horários diferentes, pelo menos um horário terá que aparecer $2$ vezes. Nesse caso, haveria um empate com o $6\text{h } 21\text{min}$ (que também apareceu $2$ vezes). O enunciado diz que $6\text{h } 21\text{min}$ foi "o que mais se repetiu", indicando que ele é a moda única. Logo, esse cenário também é impossível.

Se o $6\text{h } 21\text{min}$ aparecer $3$ vezes: Sobrariam $7$ vagas para os $6$ horários anteriores. Podemos distribuir esses $7$ dias de forma que um horário apareça $2$ vezes e os outros cinco apareçam $1$ vez cada. O valor máximo de repetições entre os horários anteriores seria $2$. Como o $6\text{h } 21\text{min}$ aparece $3$ vezes, ele vence todos os outros e se consagra como a moda única!

Conclusão e Probabilidade

Descobrimos que o número máximo de dias em que o rapaz pode ter chegado antes das $6\text{h } 21\text{min}$ é exatamente $7$. Como o mês teve $21$ dias letivos, a probabilidade máxima pedida é a razão entre os dias favoráveis e o total de dias: $P = \frac{7}{21}$

Portanto, a alternativa correta é a que apresenta essa fração.