Questão 160 do ENEM 2025 — Matemática

ENEM 2025Matemática1ª aplicação

Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância $D$ da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo $T$, em minuto, de acordo com uma função do tipo

$$D = k + \text{tg}[p(T + m)],$$

sendo os parâmetros $k$, $p$ e $m$ números reais, para $T$ variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de $D$.

Gráfico de uma função tangente em um plano cartesiano com eixos D (distância) e T (tempo). O gráfico mostra um recipiente sobre uma mesa e uma curva que passa pelos pontos (0, 0), (2,5, 30) e (4, D). Há assíntotas verticais em T = (5 - 2π)/2 e T = (5 + 2π)/2.
A expressão algébrica que representa a relação entre $D$ e $T$ é
A
$D = 2,5 + \text{tg} \left[ 30 \left( T - \frac{5 - 2\pi}{2} \right) \right]$
B
$D = 4 + \text{tg} \left[ 30 \left( T + \frac{5}{2} \right) \right]$
C
$D = 4 + \text{tg} \left[ 2,5 \left( T + \frac{5 + 2\pi}{2} \right) \right]$
D
$D = 30 + \text{tg} \left[ \frac{1}{2} (T - 5) \right]$
$D = 30 + \text{tg} \left[ \frac{1}{2} \left( T - \frac{5}{2} \right) \right]$
Resposta correta
Gabarito oficial: alternativa E

Resolução comentada

O que precisamos descobrir

A função é D(T)=k+tg[p(T+m)]D(T) = k + \text{tg}[p(T + m)], e queremos os parâmetros kk, pp e mm. Vamos extraí-los das informações da figura: as assíntotas verticais e o ponto central da curva.

Passo 1 — O parâmetro pp pelo período

O período da tangente tg(px)\text{tg}(px) é P=π∣p∣P = \dfrac{\pi}{|p|}, e no gráfico ele corresponde à distância entre duas assíntotas verticais consecutivas.

A figura indica as assíntotas nas posições 5−2π2\dfrac{5 - 2\pi}{2} e 5+2π2\dfrac{5 + 2\pi}{2}. A distância entre elas é:

P=5+2π2−5−2π2=4π2=2πP = \frac{5 + 2\pi}{2} - \frac{5 - 2\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} = 2\pi

Igualando à fórmula do período:

π∣p∣=2π  ⟹  ∣p∣=12\frac{\pi}{|p|} = 2\pi \implies |p| = \frac{1}{2}

Como a curva é crescente (tangente positiva), tomamos p=12p = \dfrac{1}{2}.

Passo 2 — Os parâmetros kk e mm pelo ponto central

A tangente tem um ponto de inflexão (seu "centro") exatamente no meio entre duas assíntotas. Para D(T)=k+tg[p(T+m)]D(T) = k + \text{tg}[p(T + m)], esse centro ocorre quando o argumento é zero:

p(T+m)=0  ⟹  T=−mp(T + m) = 0 \implies T = -m

e nesse ponto D=k+tg(0)=kD = k + \text{tg}(0) = k.

O ponto médio entre as assíntotas é:

T=12(5−2π2+5+2π2)=12⋅102=52T = \frac{1}{2}\left(\frac{5 - 2\pi}{2} + \frac{5 + 2\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{2} = \frac{5}{2}

A figura marca esse ponto central em T=2,5=52T = 2,5 = \dfrac{5}{2}, com valor D=30D = 30. Logo:

−m=52  ⟹  m=−52,k=30-m = \frac{5}{2} \implies m = -\frac{5}{2}, \qquad k = 30

Passo 3 — Montando a expressão

Com k=30k = 30, p=12p = \dfrac{1}{2} e m=−52m = -\dfrac{5}{2}:

D=30+tg[12(T−52)]D = 30 + \text{tg}\left[\frac{1}{2}\left(T - \frac{5}{2}\right)\right]

Conclusão

A expressão que representa a relação entre DD e TT é a da alternativa E.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2025 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.