Questão 161 do ENEM 2023 — Matemática

ENEM 2023MatemáticaPPL

Um reservatório que abastece uma região urbana está com uma quantidade $V$ de água. Previsões meteorológicas indicam que a região passará por uma escassez de chuva e, por isso, as autoridades locais determinaram a realização de várias medições do volume de água nesse reservatório para efeito de monitoramento.

A primeira medição indicou que o volume de água reduziu-se à metade; a segunda indicou a retirada da terça parte do que restou; a terceira, a retirada da quarta parte do que restou; a quarta, a retirada da quinta parte do que restou e assim sucessivamente nas demais medições, mantendo o seguinte padrão de retirada: na $n$-ésima medição, a retirada da $(n + 1)$-ésima parte do que restou.

Considere que não houve reabastecimento de água no reservatório no período em que foram feitas as medições.

Mantendo esse padrão de retirada, as quantidades de água restantes no reservatório referentes às 7ª, 8ª e 9ª medições são iguais a, respectivamente,
A
$\frac{7}{8}V$, $\frac{8}{9}V$ e $\frac{9}{10}V$
B
$\frac{6}{7}V$, $\frac{7}{8}V$ e $\frac{8}{9}V$
C
$\frac{6}{8}V$, $\frac{7}{9}V$ e $\frac{8}{10}V$
D
$\frac{1}{7}V$, $\frac{1}{8}V$ e $\frac{1}{9}V$
$\frac{1}{8}V$, $\frac{1}{9}V$ e $\frac{1}{10}V$
Resposta correta
Gabarito oficial: alternativa E

Resolução comentada

Para resolver essa questão, precisamos acompanhar o volume de água que resta no reservatório após cada medição, identificando o padrão matemático que se forma.

Analisando as primeiras medições

Vamos chamar o volume inicial de VV e calcular o que sobra após cada etapa:

  • 1ª medição: O enunciado diz que o volume reduziu-se à metade. Isso significa que restou 12\frac{1}{2} do volume inicial. V1=12VV_1 = \frac{1}{2}V

  • 2ª medição: Foi retirada a terça parte (13\frac{1}{3}) do que restou. Se tiramos 13\frac{1}{3} de algo, o que sobra é 23\frac{2}{3} desse algo. Logo, o novo volume restante será 23\frac{2}{3} do volume anterior (V1V_1): V2=23⋅V1=23⋅(12V)=13VV_2 = \frac{2}{3} \cdot V_1 = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}V\right) = \frac{1}{3}V

  • 3ª medição: Foi retirada a quarta parte (14\frac{1}{4}) do que restou. Se tiramos 14\frac{1}{4}, sobram 34\frac{3}{4} do volume anterior (V2V_2): V3=34⋅V2=34⋅(13V)=14VV_3 = \frac{3}{4} \cdot V_2 = \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{1}{3}V\right) = \frac{1}{4}V

  • 4ª medição: Foi retirada a quinta parte (15\frac{1}{5}) do que restou. Sobram, portanto, 45\frac{4}{5} do volume anterior (V3V_3): V4=45⋅V3=45⋅(14V)=15VV_4 = \frac{4}{5} \cdot V_3 = \frac{4}{5} \cdot \left(\frac{1}{4}V\right) = \frac{1}{5}V

Generalizando o padrão

Observe a relação direta entre o número da medição e a fração do volume que resta no reservatório:

  • Após a 1ª medição, resta 12V\frac{1}{2}V
  • Após a 2ª medição, resta 13V\frac{1}{3}V
  • Após a 3ª medição, resta 14V\frac{1}{4}V
  • Após a 4ª medição, resta 15V\frac{1}{5}V

Podemos concluir que, após a nn-ésima medição, o volume restante no reservatório é dado por: Vn=1n+1VV_n = \frac{1}{n + 1}V

Calculando as medições pedidas

O comando da questão pede os volumes restantes referentes às 7ª, 8ª e 9ª medições. Aplicando a regra que acabamos de descobrir:

  • Para a 7ª medição (n=7n = 7): V7=17+1V=18VV_7 = \frac{1}{7 + 1}V = \frac{1}{8}V

  • Para a 8ª medição (n=8n = 8): V8=18+1V=19VV_8 = \frac{1}{8 + 1}V = \frac{1}{9}V

  • Para a 9ª medição (n=9n = 9): V9=19+1V=110VV_9 = \frac{1}{9 + 1}V = \frac{1}{10}V

Assim, as quantidades de água restantes são, respectivamente, 18V\frac{1}{8}V, 19V\frac{1}{9}V e 110V\frac{1}{10}V.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2023 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.