Questão 160 do ENEM 2022 — Matemática

O conceito central desta questão é a projeção ortogonal. Imagine uma fonte de luz bem em cima do cubo (como o sol ao meio-dia): a projeção ortogonal do trajeto do robô sobre o plano da base é a "sombra" que esse trajeto forma no chão.

A regra para projetar um trajeto 3D no plano horizontal da base é:

• Deslocamentos verticais (que só sobem ou descem) não geram linha na sombra — o ponto fica parado.
• Deslocamentos com componente horizontal geram uma linha, acompanhando esse movimento no plano.

Onde cai a sombra de cada ponto

Antes de rastrear o caminho, vejamos onde a sombra de cada ponto-chave para no quadrado da base:

• Centro da face superior (ponto $P$): projeta-se exatamente no centro do quadrado da base.
• Centro de cada face lateral: projeta-se no ponto médio da aresta correspondente da base (a face da frente vira o ponto médio da aresta da frente, e assim por diante).

Rastreando a sombra do robô

A figura mostra o robô partindo de $P$, no topo, seguindo para o centro de uma face lateral e, a partir daí, contornando o cubo pelos centros das faces laterais, alternando conversões à esquerda e à direita, até fechar o ciclo e voltar a $P$. Traduzindo isso em sombra no chão:

1. Saída de $P$ para o centro de uma face lateral: a sombra sai do centro da base e vai em linha reta até o ponto médio de uma aresta. Isso desenha um segmento ligando o centro a um lado.
2. Percurso entre os centros das faces laterais: cada vez que o robô vai do centro de uma face lateral para o centro da face lateral vizinha, a sombra liga um ponto médio de aresta ao ponto médio da aresta seguinte — um segmento diagonal no chão.
3. Retorno a $P$: a sombra volta do último ponto médio de aresta até o centro da base.

A figura formada no chão

Os deslocamentos entre as faces laterais ligam pontos médios de arestas consecutivas da base. Ligando ponto médio a ponto médio ao redor do quadrado, forma-se um losango (um quadrado girado $45^\circ$) inscrito na base. Somam-se a isso os segmentos que ligam o centro da base aos pontos médios das arestas (entrada saindo de $P$ e retorno a $P$).

Entre as alternativas, a figura que combina o losango dos pontos médios com os segmentos partindo do centro da base é a Alternativa A.