Questão 136 do ENEM 2021 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos encontrar o valor de $\rho^7$ escrito na forma $a\rho + b$. O enunciado nos dá uma tabela com as potências anteriores e uma regra de ouro: $\rho^2 = \rho + 1$.

Temos dois caminhos excelentes para chegar à resposta: observar o padrão lógico da tabela ou usar a álgebra. Vamos explorar ambos.

O Caminho do Padrão Lógico (Sequência de Fibonacci)

Se olharmos atentamente para a tabela fornecida, podemos separar os números que acompanham o $\rho$ (o coeficiente $a$) e os números sozinhos (o termo independente $b$).

Vamos observar os coeficientes de $\rho$ nas potências de $\rho^2$ a $\rho^6$: $1, 2, 3, 5, 8...$

Note que cada número, a partir do terceiro, é exatamente a soma dos dois anteriores: $1 + 2 = 3$ $2 + 3 = 5$ $3 + 5 = 8$

Agora, vamos olhar para os termos independentes: $1, 1, 2, 3, 5...$

O padrão se repete! $1 + 1 = 2$ $1 + 2 = 3$ $2 + 3 = 5$

Essa é a famosa Sequência de Fibonacci. Sabendo disso, para encontrar os valores da próxima potência ($\rho^7$), basta somarmos os coeficientes das duas potências imediatamente anteriores ($\rho^5$ e $\rho^6$).

Temos na tabela: $\rho^5 = 5\rho + 3$ $\rho^6 = 8\rho + 5$

Para achar $\rho^7$:

• O novo coeficiente de $\rho$ será a soma dos anteriores: $5 + 8 = 13$.
• O novo termo independente será a soma dos anteriores: $3 + 5 = 8$.

Portanto, juntando as partes, temos: $\rho^7 = 13\rho + 8$

O Caminho Algébrico (A Prova Real)

Se você não percebesse o padrão de soma na hora da prova, a álgebra garantiria o seu acerto usando a regra fundamental dada no texto: $\rho^2 = \rho + 1$.

Sabemos, pelas propriedades das potências, que: $\rho^7 = \rho \cdot \rho^6$

Consultando a tabela, vemos que $\rho^6 = 8\rho + 5$. Vamos substituir isso na nossa equação: $\rho^7 = \rho \cdot (8\rho + 5)$

Fazendo a distributiva (o famoso "chuveirinho"): $\rho^7 = 8\rho^2 + 5\rho$

Aqui aparece um $\rho^2$. O enunciado nos disse que podemos trocar qualquer $\rho^2$ por $\rho + 1$. Fazendo essa substituição: $\rho^7 = 8(\rho + 1) + 5\rho$

Distribuindo o $8$: $\rho^7 = 8\rho + 8 + 5\rho$

Por fim, somamos os termos semelhantes ($8\rho$ com $5\rho$): $\rho^7 = 13\rho + 8$

Como podemos ver, ambos os métodos nos levam com segurança ao mesmo resultado. A potência $\rho^7$ é expressa por $13\rho + 8$, o que corresponde à alternativa E.