Questão 144 do ENEM 2014 — Matemática

Entendendo o problema

O sinalizador tem o formato de um cone circular reto, e o adesivo vai cobrir a superfície lateral da base até a metade da altura. Ou seja, cobre-se apenas a faixa lateral de baixo do cone. Em geometria, quando cortamos a ponta de um cone com um plano paralelo à base, a parte de baixo que sobra é chamada de tronco de cone.

O objetivo é descobrir qual é a planificação dessa superfície lateral: se pegarmos o adesivo já recortado e o esticarmos numa mesa plana, que formato ele terá?

A planificação de um cone completo

Para facilitar, vamos pensar primeiro no cone inteiro. Se você desmontar um chapéu de festa (cortando reto da base até a ponta e abrindo o papel), verá que a superfície lateral de um cone forma um setor circular — uma grande "fatia de pizza".

Nessa fatia:

• A borda curva é o arco que dava a volta na base circular do cone.
• A ponta (o vértice do setor) corresponde ao vértice do cone.

O corte na metade da altura

O adesivo vai apenas até a metade da altura ($h/2$). Isso significa que a pontinha do cone — que também é um cone, só que menor — fica sem adesivo.

Como essa ponta superior é ela mesma um cone, sua planificação seria um setor circular menor, concêntrico com o setor grande (mesmo vértice).

Encontrando o formato do adesivo

O formato do adesivo é, então, a planificação do cone grande menos a planificação do cone pequeno da ponta.

Imagine a fatia de pizza grande. Se você recortar a pontinha dela acompanhando o formato da borda (isto é, com um corte em arco, não reto), o que sobra é uma figura com:

• Dois lados retos (as linhas onde o cone foi aberto, que são geratrizes).
• Uma borda inferior curva e maior (o arco que dava a volta na base do cone).
• Uma borda superior curva e menor (o arco que dá a volta na circunferência do corte, na metade da altura).

O ponto-chave, que costuma gerar confusão, é este: como o corte superior é feito por um plano paralelo à base circular, ele também gera um círculo — e um círculo, ao ser planificado, vira um arco, não um segmento de reta. Portanto, tanto a borda de baixo quanto a de cima do adesivo são curvas.

Por que não os outros formatos

• Um triângulo seria a planificação da face lateral de uma pirâmide, não de um cone.
• Um trapézio (com quatro lados retos) é a vista frontal (projeção) de um tronco de cone, não sua planificação — ao desenrolar a superfície, as bordas superior e inferior precisam ser arcos.
• Um setor circular completo (com ponta/vértice) seria o adesivo do cone inteiro, até o topo — o que contraria a restrição de cobrir só até a metade da altura.

A figura que atende a todas essas condições — dois lados retos, arco maior embaixo e arco menor em cima — é a da alternativa E.

Portanto, a forma correta do adesivo é a da alternativa E.