Questão 163 do ENEM 2024 — Matemática

Para achar o comprimento da correia, vale imaginar que a "desenrolamos" e a esticamos. Pela figura, a correia é formada por quatro pedaços: dois segmentos de reta (os trechos tangentes entre as polias) e dois arcos (as partes curvas que abraçam cada polia).

Os trechos retos

Segundo os valores indicados na figura, cada um dos dois segmentos tangentes mede $15\text{ cm}$. Então:

$\text{Soma das retas} = 15 + 15 = 30\text{ cm}$

Os arcos das polias

O comprimento de uma circunferência completa é $C = 2 \cdot \pi \cdot r$. Como a correia abraça só parte de cada polia, tomamos a fração correspondente ao ângulo de contato. O enunciado pede usar $\pi \approx 3$.

Polia menor (A): pela figura, o raio é $r = 4\text{ cm}$ e o ângulo de contato é $150^\circ$. A circunferência completa seria:

$C_{\text{menor}} = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\text{ cm}$

A fração correspondente a $150^\circ$ é $\frac{150}{360} = \frac{5}{12}$, logo:

$\text{Arco}_{\text{menor}} = \frac{5}{12} \cdot 24 = 10\text{ cm}$

Polia maior (B): pela figura, o raio é $R = 8\text{ cm}$. Numa correia aberta como a da figura, os dois trechos retos são paralelos entre si, o que faz com que os ângulos de contato das duas polias sejam suplementares em relação a uma volta completa: eles somam $360^\circ$. Como a polia menor abraça $150^\circ$, a maior abraça:

$360^\circ - 150^\circ = 210^\circ$

A circunferência completa da polia maior é:

$C_{\text{maior}} = 2 \cdot 3 \cdot 8 = 48\text{ cm}$

A fração de $210^\circ$ é $\frac{210}{360} = \frac{7}{12}$, então:

$\text{Arco}_{\text{maior}} = \frac{7}{12} \cdot 48 = 28\text{ cm}$

Comprimento total

Somando os quatro pedaços:

$\text{Total} = 30 + 10 + 28 = 68\text{ cm}$

Portanto, o comprimento da correia é $68\text{ cm}$, o que corresponde à alternativa D.