Questão 160 do ENEM 2021 — Matemática

Queremos o suporte de menor área que ainda seja grande o suficiente para acomodar as bases dos três recipientes, sem que nenhuma fique para fora.

Área ocupada pelos recipientes

Cada recipiente é um cilindro de raio $r = 3$ cm. A área de sua base circular é: $A_{\text{recipiente}} = \pi \cdot r^2 = 3{,}14 \cdot 3^2 = 3{,}14 \cdot 9 = 28{,}26\ \text{cm}^2$

Como são três recipientes, a área total ocupada pelas bases é, no mínimo: $A_{\text{total}} = 3 \cdot 28{,}26 = 84{,}78\ \text{cm}^2$

Qualquer suporte com área menor que $84{,}78\ \text{cm}^2$ é descartado de imediato, pois seria impossível caberem os três círculos nele.

Área de cada suporte

Usando as medidas indicadas em cada figura (todas em centímetro):

• Suporte I — trapézio retângulo (base maior $12$, base menor $6$, altura $9$): $A_I = \frac{(B+b)\cdot h}{2} = \frac{(12+6)\cdot 9}{2} = \frac{18 \cdot 9}{2} = 81\ \text{cm}^2$

• Suporte II — quadrado de lado $12$: $A_{II} = 12 \cdot 12 = 144\ \text{cm}^2$

• Suporte III — quadrado de lado $6$: $A_{III} = 6 \cdot 6 = 36\ \text{cm}^2$

• Suporte IV — retângulo de lados $9$ e $3$: $A_{IV} = 9 \cdot 3 = 27\ \text{cm}^2$

• Suporte V — quarto de círculo de raio $13$ (um quarto da área do círculo completo): $A_V = \frac{\pi \cdot R^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 13^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 169}{4} = \frac{530{,}66}{4} = 132{,}665\ \text{cm}^2$

Escolhendo o suporte

Comparando com a área mínima necessária ($84{,}78\ \text{cm}^2$):

• Suportes I ($81$), III ($36$) e IV ($27$) têm área insuficiente e são descartados.
• Restam II ($144\ \text{cm}^2$) e V ($132{,}665\ \text{cm}^2$).

Como a proprietária quer a menor área entre os que comportam os três recipientes, escolhe o suporte V.

Podemos confirmar que os três círculos de raio $3$ cabem no quarto de círculo de raio $13$: colocando um recipiente no canto (centro em $(3,3)$) e os outros dois encostados nas bordas retas (centros em $(9,3)$ e $(3,9)$), o ponto mais afastado da origem fica a $\sqrt{9^2+3^2}+3 = \sqrt{90}+3 \approx 9{,}48+3 = 12{,}48$ cm, menor que o raio $13$. Cabem com folga.

Portanto, a proprietária comprou o suporte V.