Questão 179 do ENEM 2024 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos relacionar o volume de líquido no tanque com a altura que ele atinge ao longo do tempo. Como o tanque tem o formato de uma pirâmide invertida (vértice para baixo, conforme a imagem), o líquido que vai preenchendo o tanque forma uma pirâmide menor, que é semelhante à pirâmide total.

Primeiro, vamos padronizar as unidades de medida. A vazão foi dada em metros cúbicos por segundo ($\text{m}^3/\text{s}$), então vamos converter a capacidade total do tanque de litros para metros cúbicos: $V_{\text{total}} = 240 \text{ L} = 240 \times 0,001 \text{ m}^3 = 0,24 \text{ m}^3$

A altura total do tanque é $H = 2 \text{ m}$.

Como o líquido é despejado a uma vazão constante de $0,015 \text{ m}^3/\text{s}$, o volume de líquido $V(t)$ dentro do tanque após $t$ segundos é dado por: $V(t) = 0,015 \cdot t$

Agora, aplicamos a propriedade de semelhança de sólidos. A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança (que é a razão entre suas alturas). Assim, podemos escrever: $\frac{V(t)}{V_{\text{total}}} = \left( \frac{h(t)}{H} \right)^3$

Substituindo os valores que já conhecemos na equação: $\frac{0,015 \cdot t}{0,24} = \left( \frac{h(t)}{2} \right)^3$

Vamos simplificar a fração do lado esquerdo. Multiplicando o numerador e o denominador por $1000$ para eliminar as casas decimais, temos: $\frac{15 \cdot t}{240} = \frac{h(t)^3}{2^3}$

Simplificando a fração $\frac{15}{240}$ (dividindo ambos por $15$), obtemos $\frac{1}{16}$: $\frac{t}{16} = \frac{h(t)^3}{8}$

Agora, isolamos $h(t)^3$ multiplicando ambos os lados por $8$: $h(t)^3 = 8 \cdot \frac{t}{16}$ $h(t)^3 = \frac{t}{2}$

Por fim, extraímos a raiz cúbica de ambos os lados para encontrar a altura $h(t)$: $h(t) = \sqrt[3]{\frac{t}{2}}$

Essa é a expressão que fornece a altura da coluna de líquido em função do tempo.