Questão 161 do ENEM 2024 — Matemática

Para resolver, precisamos acompanhar como a água preenche os compartimentos ao longo do tempo, sempre focando no que o enunciado pede: a maior altura da coluna de água em cada instante.

Como a vazão é constante, o tempo de enchimento é diretamente proporcional ao volume preenchido. O tanque inteiro (volume $V$) leva $12$ horas para encher. Pelo enunciado, os dois anteparos dividem a base em três retângulos congruentes (cada um com $\frac{1}{3}$ da base) e têm alturas iguais a $\frac{H}{2}$ e $\frac{H}{4}$, sendo $H$ a altura do tanque.

Fase 1: primeiro compartimento (0 a 2 h)

A água é despejada e começa a encher o compartimento delimitado pelo anteparo de altura $\frac{H}{2}$. O volume para preenchê-lo até essa borda é: $V_1 = \frac{1}{3}\,(\text{base}) \times \frac{1}{2}\,(\text{altura}) = \frac{1}{6}\,V$

O tempo correspondente é: $t_1 = \frac{1}{6} \times 12 = 2 \text{ horas}$

Nesse intervalo, a maior altura sobe de $0$ até $\frac{H}{2}$: uma reta crescente.

Fase 2: platô (2 h a 6 h)

Ao atingir $\frac{H}{2}$, a água transborda para os demais compartimentos. Como o primeiro já está em $\frac{H}{2}$, a maior altura fica "travada" nesse valor enquanto os outros enchem por baixo. O anteparo menor, de $\frac{H}{4}$, não muda o gráfico: como $\frac{H}{2} > \frac{H}{4}$, o registro é sempre o valor maior.

Os outros dois compartimentos ocupam $\frac{2}{3}$ da base e também são cheios até $\frac{H}{2}$: $V_2 = \frac{2}{3}\,(\text{base}) \times \frac{1}{2}\,(\text{altura}) = \frac{1}{3}\,V \quad\Rightarrow\quad t_2 = \frac{1}{3} \times 12 = 4 \text{ horas}$

Logo, de $2$ h a $6$ h a maior altura permanece constante em $\frac{H}{2}$: um segmento horizontal.

Fase 3: metade superior (6 h a 12 h)

Com todos os compartimentos nivelados em $\frac{H}{2}$, a água passa a preencher a metade superior do tanque inteiro, cujo volume é $\frac{V}{2}$: $t_3 = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \text{ horas}$

A altura sobe de $\frac{H}{2}$ até $H$. Agora a base é o tanque todo (não mais $\frac{1}{3}$ dele), então a água sobe mais devagar: a reta tem inclinação menor que a da Fase 1.

Conclusão

O comportamento da maior altura é:

• 0 a 2 h: sobe de $0$ a $\frac{H}{2}$ (reta crescente);
• 2 a 6 h: constante em $\frac{H}{2}$ (platô horizontal);
• 6 a 12 h: sobe de $\frac{H}{2}$ a $H$ com inclinação menor.

O gráfico que reproduz exatamente esse padrão — crescimento até $2$ h, platô de $2$ h a $6$ h e nova subida menos inclinada de $6$ h a $12$ h — é o indicado no gabarito, a alternativa B.