Questão 179 do ENEM 2015 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender como os parâmetros $A$ e $B$ afetam o gráfico da função trigonométrica dada: $T(h) = A + B \sin\left( \frac{\pi}{12}(h - 12) \right)$

A função seno sempre varia no intervalo de $-1$ a $1$. Isso significa que a temperatura $T(h)$ vai oscilar em torno de um valor médio, atingindo um valor máximo e um valor mínimo.

O parâmetro $A$ representa exatamente essa temperatura média. Podemos encontrá-lo calculando a média aritmética entre as temperaturas máxima e mínima desejadas pelos funcionários ($26^\circ\text{C}$ e $18^\circ\text{C}$): $A = \frac{26 + 18}{2} = \frac{44}{2} = 22$

O parâmetro $B$ (em módulo) representa a amplitude da variação, ou seja, o quanto a temperatura sobe ou desce a partir da média. A amplitude é a diferença entre a temperatura máxima e a média: $|B| = 26 - 22 = 4$ Isso nos diz que $B$ pode ser $4$ ou $-4$. Para decidir o sinal de $B$, precisamos analisar a condição de que durante a tarde a temperatura deve ser menor do que durante a manhã.

Vamos analisar o comportamento da parte trigonométrica da função, $\sin\left( \frac{\pi}{12}(h - 12) \right)$, nos períodos da manhã e da tarde:

• De manhã ($0 < h < 12$): O termo $(h - 12)$ será negativo. Como o seno de um arco entre $-\pi$ e $0$ é negativo, o resultado do seno será negativo.
• À tarde ($12 < h < 24$): O termo $(h - 12)$ será positivo. Como o seno de um arco entre $0$ e $\pi$ é positivo, o resultado do seno será positivo.

Se escolhermos $B = 4$ (positivo):

• De manhã: $T(h) = 22 + 4 \cdot (\text{valor negativo}) \Rightarrow$ temperatura menor que $22^\circ\text{C}$.
• À tarde: $T(h) = 22 + 4 \cdot (\text{valor positivo}) \Rightarrow$ temperatura maior que $22^\circ\text{C}$. Nesse caso, a tarde seria mais quente que a manhã, o que contraria o pedido.

Se escolhermos $B = -4$ (negativo):

• De manhã: $T(h) = 22 - 4 \cdot (\text{valor negativo}) \Rightarrow$ temperatura maior que $22^\circ\text{C}$.
• À tarde: $T(h) = 22 - 4 \cdot (\text{valor positivo}) \Rightarrow$ temperatura menor que $22^\circ\text{C}$. Aqui, a tarde é mais fria que a manhã, atendendo perfeitamente à exigência dos funcionários!

Portanto, os valores que o técnico deve regular são $A = 22$ e $B = -4$.