Questão 173 do ENEM 2023 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos modelar o crescimento populacional das células usando uma função exponencial. Vamos analisar as informações dadas no enunciado passo a passo.

Primeiro, sabemos que a quantidade inicial de células é $Q_0$. Isso significa que, no instante de tempo $t = 0$, temos: $Q(0) = Q_0$

O enunciado também nos diz que a quantidade de células triplica a cada duas horas. Vamos construir uma tabela mental ou no papel para ver como essa quantidade evolui com o passar do tempo:

• Em $t = 0$ hora: $Q(0) = Q_0$
• Em $t = 2$ horas: a quantidade triplica, então $Q(2) = Q_0 \cdot 3$
• Em $t = 4$ horas: a quantidade triplica novamente em relação ao passo anterior, então $Q(4) = (Q_0 \cdot 3) \cdot 3 = Q_0 \cdot 3^2$
• Em $t = 6$ horas: triplica mais uma vez, logo $Q(6) = (Q_0 \cdot 3^2) \cdot 3 = Q_0 \cdot 3^3$

Observe o padrão que está se formando. A base da nossa potência é $3$ (pois a quantidade triplica), e o expoente indica quantas vezes esse processo de triplicar aconteceu.

Como o processo ocorre a cada $2$ horas, o número de vezes que a população triplica em um tempo $t$ é dado pela divisão do tempo total pelo tempo de um ciclo, ou seja, $\frac{t}{2}$.

Podemos verificar se essa lógica funciona para os tempos que já calculamos:

• Para $t = 2$: o expoente é $\frac{2}{2} = 1$. Ficamos com $3^1$, o que está correto.
• Para $t = 4$: o expoente é $\frac{4}{2} = 2$. Ficamos com $3^2$, o que também está correto.
• Para $t = 6$: o expoente é $\frac{6}{2} = 3$. Ficamos com $3^3$, correto novamente.

Portanto, a representação algébrica da quantidade $Q$ de células em função do tempo $t$ é dada pela expressão: $Q(t) = Q_0 \cdot 3^{\frac{t}{2}}$

Analisando as alternativas, essa expressão corresponde à alternativa D.