Questão 167 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular a área da parte frontal da tampa de concreto, que tem o formato da área sob a parábola dada pela equação $y = 9 - x^2$. O enunciado nos facilita a vida ao informar que essa área corresponde a $\frac{2}{3}$ da área de um retângulo cujas dimensões são a base e a altura da entrada do túnel.

Encontrando as dimensões do túnel

Primeiro, vamos determinar a altura máxima do túnel. A altura é dada pelo valor máximo da função $y = 9 - x^2$. Como o termo $x^2$ é sempre positivo ou zero, o valor máximo de $y$ ocorre quando $x = 0$. Substituindo na equação, temos: $y = 9 - 0^2 = 9 \text{ metros}$ Portanto, a altura do túnel (e do nosso retângulo) é de $9 \text{ metros}$.

Em seguida, precisamos encontrar a medida da base do túnel. A base fica no nível do chão, ou seja, onde a altura é zero ($y = 0$). Para encontrar os pontos onde a parábola toca o chão, igualamos a equação a zero e encontramos as suas raízes: $9 - x^2 = 0$ $x^2 = 9$ $x = \pm 3$ Isso significa que o túnel começa na posição $x = -3$ e termina na posição $x = 3$. A largura total da base é a distância entre esses dois pontos: $\text{Base} = 3 - (-3) = 6 \text{ metros}$

Calculando a área da tampa

Agora que conhecemos a base e a altura, podemos calcular a área do retângulo mencionado no enunciado: $\text{Área do retângulo} = \text{base} \times \text{altura}$ $\text{Área do retângulo} = 6 \times 9 = 54 \text{ m}^2$

Por fim, o problema afirma que a área sob a parábola (a área da tampa de concreto) é igual a $\frac{2}{3}$ da área desse retângulo. Fazendo o cálculo: $\text{Área da tampa} = \frac{2}{3} \times 54$ $\text{Área da tampa} = 2 \times 18 = 36 \text{ m}^2$

Portanto, a área da parte frontal da tampa de concreto é de $36 \text{ m}^2$.