Questão 159 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos visualizar a vista frontal do túnel e do caminhão. A entrada do túnel é um triângulo equilátero com lado de $6\text{ m}$, e o caminhão, visto de frente, é um retângulo com $3\text{ m}$ de largura e altura $h$ que queremos descobrir.

Como o motorista quer tangenciar a entrada do túnel, o caminhão deve passar exatamente pelo centro da via para conseguir a maior altura possível. Isso significa que o retângulo que representa o caminhão estará centralizado na base do triângulo.

Método 1: Usando Trigonometria

A base do triângulo mede $6\text{ m}$ e a base do caminhão mede $3\text{ m}$. Como o caminhão está centralizado, o espaço que sobra na base do túnel será dividido igualmente para os dois lados:

$\text{Espaço lateral} = \frac{6 - 3}{2} = 1,5\text{ m} = \frac{3}{2}\text{ m}$

Agora, observe o pequeno triângulo retângulo que se forma em um dos cantos inferiores da entrada do túnel. Ele é delimitado por:

• Um pedaço da base do túnel (cateto adjacente), que mede $\frac{3}{2}\text{ m}$.
• A lateral do caminhão (cateto oposto), que é a altura $h$.
• A lateral do túnel (hipotenusa).

Como o túnel tem a forma de um triângulo equilátero, todos os seus ângulos internos medem $60^\circ$. Portanto, o ângulo entre o chão e a lateral do túnel é de $60^\circ$.

Podemos usar a relação trigonométrica da tangente para encontrar a altura $h$:

$\tan(60^\circ) = \frac{\text{Cateto Oposto}}{\text{Cateto Adjacente}}$

Sabendo que $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, substituímos os valores:

$\sqrt{3} = \frac{h}{\frac{3}{2}}$

Isolando a altura $h$, temos:

$h = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\text{ m}$

Método 2: Usando Semelhança de Triângulos

Uma outra forma muito elegante de enxergar o problema é notar que o teto do caminhão é paralelo ao chão. Se prolongarmos a linha do teto do caminhão, ela formará um triângulo menor na parte superior do túnel.

Como a linha é paralela à base, esse triângulo menor também é equilátero. A base desse triângulo menor é exatamente a largura do caminhão, ou seja, $3\text{ m}$.

A altura do caminhão ($h$) será a diferença entre a altura do triângulo maior (o túnel inteiro) e a altura do triângulo menor (a parte vazia acima do caminhão).

Lembrando que a altura de um triângulo equilátero é dada por $H = \frac{L\sqrt{3}}{2}$:

• Altura do triângulo maior ($L = 6\text{ m}$): $H = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ m}$

• Altura do triângulo menor ($L = 3\text{ m}$): $h' = \frac{3\sqrt{3}}{2}\text{ m}$

A altura do caminhão será a subtração das duas:

$h = H - h' = 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\text{ m}$

Ambos os raciocínios nos levam à mesma conclusão de forma segura.