Questão 141 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos descobrir qual é o volume total de gás hélio disponível e dividi-lo pelo volume que cabe em cada balão. A partir daí, saberemos quantos balões serão necessários e, consequentemente, quantos pacotes o vendedor precisará comprar.

Volume do recipiente (cilindro)

O recipiente tem o formato de um cilindro circular reto. O enunciado nos diz que o diâmetro da base é de $40\text{ cm}$, o que significa que o raio ($R$) é a metade disso: $20\text{ cm}$. A altura ($H$) é de $1\text{ m}$, que devemos converter para centímetros para manter a mesma unidade de medida, ou seja, $100\text{ cm}$.

A fórmula do volume do cilindro é: $V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot R^2 \cdot H$

Substituindo os valores: $V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot (20)^2 \cdot 100$ $V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot 400 \cdot 100 = 40.000\pi\text{ cm}^3$

Volume total de gás hélio

O problema afirma que o volume de gás adquirido, em condições normais de pressão, é igual a $12$ vezes o volume do recipiente. Portanto: $V_{\text{gás}} = 12 \cdot 40.000\pi = 480.000\pi\text{ cm}^3$

Volume de cada balão (esfera)

Os balões são esféricos e, quando cheios, possuem um diâmetro de $30\text{ cm}$. Logo, o raio ($r$) de cada balão é $15\text{ cm}$.

A fórmula do volume da esfera é: $V_{\text{balão}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$

Substituindo o valor do raio: $V_{\text{balão}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (15)^3$ $V_{\text{balão}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 3.375$ $V_{\text{balão}} = 4 \cdot \pi \cdot 1.125 = 4.500\pi\text{ cm}^3$

Quantidade de balões e pacotes necessários

Agora, para descobrir quantos balões podem ser enchidos, dividimos o volume total de gás pelo volume de um balão: $N = \frac{V_{\text{gás}}}{V_{\text{balão}}} = \frac{480.000\pi}{4.500\pi}$

Simplificando a fração (cortando o $\pi$ e os zeros): $N = \frac{4.800}{45} \approx 106,66...$

Isso significa que o vendedor tem gás suficiente para encher completamente $106$ balões e ainda sobrará um pouco de gás (que seria suficiente para encher parcialmente um $107^{\circ}$ balão). Como ele quer utilizar todo o volume de gás e encher o maior número possível de balões, ele precisará de pelo menos $107$ balões em mãos para dar conta de todo o gás.

Os balões são vendidos em pacotes fechados com $5$ unidades cada. Vamos ver quantos pacotes são necessários para obter pelo menos $107$ balões: $\text{Quantidade de pacotes} = \frac{107}{5} = 21,4$

Como não é possível comprar uma fração de pacote, o vendedor precisará arredondar esse número para cima. Comprando $21$ pacotes, ele teria apenas $105$ balões (o que deixaria gás sobrando). Portanto, ele deve comprar $22$ pacotes, o que lhe garantirá $110$ balões, quantidade mais do que suficiente para utilizar todo o gás hélio adquirido.