Questão 157 do ENEM 2020 — Matemática

O problema nos pede para encontrar uma relação entre o raio $R$ de um círculo e o lado $L$ de um quadrado, sabendo que ambos os tampos de vidro devem possuir a mesma área.

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas matemáticas para o cálculo das áreas dessas duas figuras geométricas:

• A área de um círculo de raio $R$ é dada por $A_{\text{círculo}} = \pi R^2$.
• A área de um quadrado de lado $L$ é dada por $A_{\text{quadrado}} = L^2$.

O enunciado afirma que as áreas dos tampos de vidro são equivalentes, ou seja, iguais. Portanto, podemos igualar as duas expressões: $\pi R^2 = L^2$

Nosso objetivo é determinar uma fórmula para o cálculo do raio $R$. Para isso, precisamos isolar a variável $R$ na equação. Começamos passando o $\pi$, que está multiplicando do lado esquerdo, para o lado direito dividindo: $R^2 = \frac{L^2}{\pi}$

Agora, para encontrar o valor de $R$, extraímos a raiz quadrada de ambos os lados da equação. Como $R$ e $L$ representam medidas de comprimento (e, portanto, são valores estritamente positivos), consideramos apenas a raiz positiva: $R = \sqrt{\frac{L^2}{\pi}}$

Podemos simplificar essa expressão aplicando a propriedade da radiciação que nos permite separar a raiz de uma fração na fração das raízes: $R = \frac{\sqrt{L^2}}{\sqrt{\pi}}$

Sabendo que $L$ é um valor positivo, temos que $\sqrt{L^2} = L$. Substituindo isso na equação, chegamos à fórmula final para o raio: $R = \frac{L}{\sqrt{\pi}}$

Analisando as opções fornecidas pela questão, essa expressão corresponde exatamente à alternativa A.