Questão 146 do ENEM 2021 — Matemática

ENEM 2021Matemática1ª aplicação

Um zootecnista pretende testar se uma nova ração
para coelhos é mais eficiente do que a que ele vem
utilizando atualmente. A ração atual proporciona uma
massa média de 10 kg por coelho, com um desvio padrão
de 1 kg, alimentado com essa ração durante um período
de três meses.
O zootecnista selecionou uma amostra de coelhos e
os alimentou com a nova ração pelo mesmo período de
tempo. Ao final, anotou a massa de cada coelho, obtendo
um desvio padrão de 1,5 kg para a distribuição das
massas dos coelhos dessa amostra.
Para avaliar a eficiência dessa ração, ele utilizará
o coeficiente de variação (CV) que é uma medida de
dispersão definida por CV =S/X, em que s representa o
desvio padrão X, a média das massas dos coelhos que
foram alimentados com uma determinada ração.
O zootecnista substituirá a ração que vinha utilizando
pela nova, caso o coeficiente de variação da distribuição
das massas dos coelhos que foram alimentados com a
nova ração for menor do que o coeficiente de variação
da distribuição das massas dos coelhos que foram
alimentados com a ração atual.

A substituição da ração ocorrerá se a média da distribuição das massas dos coelhos da amostra, em quilograma, for superior
A
5,0.
B
9,5.
C
10,0.
D
10,5.
15,0.
Resposta correta
Gabarito oficial: alternativa E

Resolução comentada

Para resolver essa questão, precisamos entender a condição estabelecida pelo zootecnista para a troca da ração: o coeficiente de variação (CVCV) da nova ração deve ser estritamente menor que o coeficiente de variação da ração atual.

O enunciado nos fornece a fórmula do coeficiente de variação: CV=SXCV = \frac{S}{X} onde SS é o desvio padrão e XX é a média das massas.

Analisando a ração atual

Primeiro, vamos calcular o coeficiente de variação da ração que já é utilizada. Sabemos que a média é Xatual=10 kgX_{\text{atual}} = 10 \text{ kg} e o desvio padrão é Satual=1 kgS_{\text{atual}} = 1 \text{ kg}. Substituindo na fórmula, temos: CVatual=110=0,1CV_{\text{atual}} = \frac{1}{10} = 0,1

Analisando a nova ração

Agora, vamos olhar para a nova ração. O enunciado nos diz que o desvio padrão obtido na amostra foi Snova=1,5 kgS_{\text{nova}} = 1,5 \text{ kg}, mas não sabemos a nova média, que chamaremos de XnovaX_{\text{nova}}. O coeficiente de variação para essa nova ração será: CVnova=1,5XnovaCV_{\text{nova}} = \frac{1,5}{X_{\text{nova}}}

Condição para a troca

A condição para que a ração seja substituída é que o CVCV da nova ração seja menor que o da atual: CVnova<CVatualCV_{\text{nova}} < CV_{\text{atual}}

Substituindo os valores que encontramos: 1,5Xnova<0,1\frac{1,5}{X_{\text{nova}}} < 0,1

Como a média das massas (XnovaX_{\text{nova}}) é necessariamente um valor positivo, podemos multiplicar ambos os lados da inequação por XnovaX_{\text{nova}} sem alterar o sentido da desigualdade: 1,5<0,1⋅Xnova1,5 < 0,1 \cdot X_{\text{nova}}

Para isolar XnovaX_{\text{nova}}, dividimos ambos os lados por 0,10,1: Xnova>1,50,1X_{\text{nova}} > \frac{1,5}{0,1} Xnova>15X_{\text{nova}} > 15

Portanto, para que a substituição da ração ocorra, a média da distribuição das massas dos coelhos da amostra deve ser superior a 15,0 kg15,0 \text{ kg}.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2021 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.