Questão 147 do ENEM 2019 — Matemática

O objetivo é encontrar a área total das 10 placas. Como cada placa tem um formato composto, a estratégia mais segura é decompor a figura em formas simples e somar suas áreas.

Decompondo a placa

Pelos dados do enunciado — um círculo de diâmetro $d = 40\text{ cm}$ que tangencia os lados de um retângulo, com comprimento total $h = 60\text{ cm}$ — a placa se separa em duas partes:

1. uma parte superior curva, que é um semicírculo (metade de um círculo);
2. uma parte inferior reta, que é um retângulo.

Do diâmetro do círculo tiramos duas informações:

• a largura da placa (base do retângulo) é igual ao diâmetro: $40\text{ cm}$;
• o raio é a metade do diâmetro: $r = 20\text{ cm}$.

A altura total é $h = 60\text{ cm}$. Como o topo é um semicírculo, a altura dessa "tampa" curva é igual ao raio, $20\text{ cm}$. Subtraindo essa parte da altura total, achamos a altura da parte retangular: $h_{\text{retângulo}} = 60 - 20 = 40\text{ cm}$

Como a base ($40\text{ cm}$) e a altura ($40\text{ cm}$) do retângulo são iguais, essa parte é na verdade um quadrado.

Calculando as áreas

1. Área do quadrado: base vezes altura. $A_{\text{quadrado}} = 40 \cdot 40 = 1600\text{ cm}^2$

2. Área do semicírculo: metade da área do círculo, usando $\pi = 3,14$. $A_{\text{semicírculo}} = \frac{\pi \cdot r^2}{2} = \frac{3,14 \cdot 20^2}{2} = \frac{3,14 \cdot 400}{2} = 3,14 \cdot 200 = 628\text{ cm}^2$

3. Área de uma placa: soma das duas. $A_{\text{placa}} = 1600 + 628 = 2228\text{ cm}^2$

Cálculo final

São dez placas idênticas, então multiplicamos por 10: $A_{\text{total}} = 2228 \cdot 10 = 22280\text{ cm}^2$

A soma das áreas das dez placas é $22280\text{ cm}^2$, correspondente à alternativa B.