Questão 153 do ENEM 2015 — Matemática

Para resolver esse problema, podemos montar um sistema de equações do primeiro grau. Vamos começar definindo duas variáveis para representar as quantidades que não conhecemos:

• $x$: número de vezes que o participante acertou o alvo.
• $y$: número de vezes que o participante errou o alvo.

O enunciado nos diz que o participante deu um total de $80$ tiros. Isso significa que a soma dos acertos e dos erros deve ser igual a $80$. Assim, temos a nossa primeira equação: $x + y = 80$

Além disso, sabemos como funciona a premiação:

• Cada acerto rende R$ 20,00, o que contribui com $+20x$ para o saldo.
• Cada erro custa R$ 10,00, o que contribui com $-10y$ para o saldo.

Como o participante terminou o jogo recebendo R$ 100,00, podemos escrever a equação do saldo financeiro: $20x - 10y = 100$

Agora, temos o seguinte sistema de equações:

Para resolver esse sistema, podemos usar o método da substituição. Vamos isolar a variável $y$ na primeira equação: $y = 80 - x$

Em seguida, substituímos esse valor de $y$ na segunda equação: $20x - 10(80 - x) = 100$

Agora, aplicamos a propriedade distributiva para eliminar os parênteses (lembrando de fazer o jogo de sinais): $20x - 800 + 10x = 100$

Somando os termos com $x$: $30x - 800 = 100$

Passando o $-800$ para o outro lado da igualdade (somando $800$ em ambos os lados): $30x = 100 + 800$ $30x = 900$

Por fim, dividimos ambos os lados por $30$ para encontrar o valor de $x$: $x = \frac{900}{30}$ $x = 30$

Portanto, o participante acertou o alvo $30$ vezes. (Se quiséssemos saber os erros para tirar a prova real, bastaria calcular $y = 80 - 30 = 50$ vezes. Ganhando $30 \times 20 = 600$ e perdendo $50 \times 10 = 500$, o saldo final é exatamente $100$).