Questão 168 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular a probabilidade de que a soma dos valores de duas cédulas sorteadas (com reposição) seja maior ou igual a R$ 55,00.

Analisando o total de possibilidades

A caixa contém um total de $4$ cédulas:

• $1$ cédula de R$ 5,00
• $1$ cédula de R$ 20,00
• $2$ cédulas de R$ 50,00 (de modelos diferentes, o que significa que são tratadas como duas opções distintas no sorteio)

Como o sorteio é feito com reposição (a primeira cédula é devolvida à caixa antes do segundo sorteio), o número total de resultados possíveis para os dois sorteios é dado pelo princípio multiplicativo: $4 \times 4 = 16 \text{ possibilidades}$

Calculando os casos favoráveis

Queremos que a soma dos valores seja pelo menos R$ 55,00. Em problemas de probabilidade, muitas vezes é mais fácil e rápido calcular o evento complementar, ou seja, aquilo que NÃO queremos que aconteça, e subtrair do total.

O que não queremos? Que a soma seja menor que R$ 55,00.

Observe que, se sortearmos pelo menos uma cédula de R$ 50,00, a soma mínima possível será $50 + 5 = 55$, o que já atende à nossa condição. Portanto, para que a soma seja menor que R$ 55,00, não podemos sortear nenhuma cédula de R$ 50,00.

Isso significa que, em ambos os sorteios, devemos tirar apenas a cédula de R$ 5,00 ou a de R$ 20,00. Como temos $2$ opções para o primeiro sorteio e $2$ opções para o segundo, o número de casos em que a soma é menor que R$ 55,00 é: $2 \times 2 = 4 \text{ casos}$

Esses $4$ casos indesejados são os pares de sorteios: $(5, 5)$, $(5, 20)$, $(20, 5)$ e $(20, 20)$.

Agora, para encontrar o número de casos favoráveis (soma maior ou igual a R$ 55,00), basta subtrair os casos indesejados do total de possibilidades: $16 - 4 = 12 \text{ casos favoráveis}$

Calculando a probabilidade

A probabilidade $P$ é a razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis: $P = \frac{12}{16}$

Simplificando a fração, dividindo o numerador e o denominador por $4$, obtemos: $P = \frac{3}{4}$

Portanto, a probabilidade de que a soma dos valores anotados seja pelo menos igual a R$ 55,00 é $\frac{3}{4}$.