Questão 148 do ENEM 2024 — Matemática

Para achar as constantes $a$ e $b$, usamos os pontos que o gráfico do resfriamento da caneca fornece. A função dada é:

$T(t) = a + 80 \cdot b^t$

No gráfico (temperatura em grau Celsius versus tempo em minuto), a curva parte de $100^\circ\text{C}$ no instante inicial e decai. Lendo a figura, identificamos os pares:

• $t = 0 \Rightarrow T = 100^\circ\text{C}$ (início, quando a caneca sai do micro-ondas);
• $t = 10 \Rightarrow T = 60^\circ\text{C}$;
• $t = 20 \Rightarrow T = 40^\circ\text{C}$ (usado só para conferir).

Encontrando $a$

Usando o ponto inicial $(0, 100)$ e lembrando que qualquer base não nula elevada a zero vale $1$ (ou seja, $b^0 = 1$):

$100 = a + 80 \cdot b^0$ $100 = a + 80 \cdot 1$ $a = 100 - 80 = 20$

Então $a = 20$. Fisicamente, esse é o valor para o qual a temperatura tende a estabilizar (a temperatura do ambiente). A função fica:

$T(t) = 20 + 80 \cdot b^t$

Encontrando $b$

Usando o ponto $(10, 60)$:

$60 = 20 + 80 \cdot b^{10}$ $40 = 80 \cdot b^{10}$ $b^{10} = \frac{40}{80} = 0,5$

Para isolar $b$, aplicamos a raiz décima nos dois lados, o que equivale a um expoente $\frac{1}{10}$:

$b = \sqrt[10]{0,5} = (0,5)^{\frac{1}{10}}$

Conferindo

Com o ponto $(20, 40)$ na função $T(t) = 20 + 80 \cdot \left((0,5)^{\frac{1}{10}}\right)^t$:

$T(20) = 20 + 80 \cdot (0,5)^{\frac{20}{10}} = 20 + 80 \cdot (0,5)^2 = 20 + 80 \cdot 0,25 = 20 + 20 = 40$

O resultado bate com a leitura do gráfico. Logo, $a = 20$ e $b = (0,5)^{\frac{1}{10}}$, o que corresponde à alternativa C.