Questão 157 do ENEM 2022 — Matemática

Entendendo a Necessidade do Hotel

Primeiro, precisamos determinar qual é o volume mínimo de água que o novo reservatório deve comportar. O enunciado nos diz que o consumo médio diário do hotel é de $10.000 \text{ L}$ e que o reservatório precisa suprir essa necessidade por, pelo menos, $6$ dias completos.

Calculando o volume total necessário em litros: $V_{\text{necessário}} = 10.000 \text{ L/dia} \times 6 \text{ dias} = 60.000 \text{ L}$

Como as dimensões dos reservatórios estão em metros, é conveniente converter esse volume para metros cúbicos ($\text{m}^3$). Sabendo que $1 \text{ m}^3$ equivale a $1.000 \text{ L}$, temos: $V_{\text{necessário}} = \frac{60.000}{1.000} = 60 \text{ m}^3$

Portanto, o reservatório escolhido deve ter um volume de, no mínimo, $60 \text{ m}^3$.

Analisando o Espaço Disponível

O hotel dispõe de um espaço retangular com largura de $5 \text{ m}$ e comprimento de $6 \text{ m}$. Isso impõe restrições às dimensões da base dos reservatórios:

• Para reservatórios retangulares: as dimensões da base (largura e comprimento) não podem ultrapassar $5 \text{ m}$ e $6 \text{ m}$.
• Para reservatórios cilíndricos: a base é um círculo. Para que um círculo caiba em um retângulo de $5 \text{ m} \times 6 \text{ m}$, seu diâmetro máximo deve ser igual à menor dimensão do retângulo, ou seja, $5 \text{ m}$. Logo, o raio máximo permitido é de $2,5 \text{ m}$.

Avaliando as Opções

Agora, vamos analisar cada uma das cinco opções de reservatório para ver qual atende tanto à restrição de espaço quanto à necessidade de volume.

Reservatório $R_1$ (Retangular)

• Base: $6 \text{ m} \times 6 \text{ m}$.
• Análise: Não cabe no espaço disponível, pois uma das dimensões excede os $5 \text{ m}$ de largura do local.

Reservatório $R_2$ (Retangular)

• Base: $4 \text{ m} \times 5 \text{ m}$. Cabe perfeitamente no espaço de $5 \text{ m} \times 6 \text{ m}$.
• Volume: $V = 4 \text{ m} \times 5 \text{ m} \times 2,5 \text{ m} = 50 \text{ m}^3$.
• Análise: O volume de $50 \text{ m}^3$ é inferior aos $60 \text{ m}^3$ necessários. Portanto, não atende à demanda.

Reservatório $R_3$ (Retangular)

• Base: $5 \text{ m} \times 6 \text{ m}$. Ocupa exatamente o espaço disponível.
• Volume: $V = 5 \text{ m} \times 6 \text{ m} \times 2 \text{ m} = 60 \text{ m}^3$.
• Análise: Cabe no espaço e possui exatamente o volume mínimo necessário de $60 \text{ m}^3$. Esta é uma opção válida.

Reservatório $R_4$ (Cilíndrico)

• Raio: $6 \text{ m}$, o que significa um diâmetro de $12 \text{ m}$.
• Análise: Não cabe no espaço disponível, pois o diâmetro máximo permitido é de $5 \text{ m}$.

Reservatório $R_5$ (Cilíndrico)

• Raio: $4 \text{ m}$, o que significa um diâmetro de $8 \text{ m}$.
• Análise: Também não cabe no espaço disponível pelo mesmo motivo (diâmetro maior que $5 \text{ m}$).

Conclusão

A única opção que cabe no espaço físico disponibilizado pelo hotel e que consegue armazenar água suficiente para os $6$ dias de racionamento é o reservatório $R_3$.