Questão 163 do ENEM 2011 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos lembrar da fórmula do volume de um cilindro circular reto. O volume ($V$) é calculado multiplicando a área da base pela altura ($h$). Como a base é um círculo de raio $r$, a fórmula fica:

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

O enunciado nos apresenta dois reservatórios, $C_1$ e $C_2$, e nos pede a razão entre seus volumes, ou seja, o valor da divisão $\frac{V_1}{V_2}$.

Vamos organizar as informações dadas para cada reservatório:

Para o reservatório $C_1$:

• Raio da base: $r_1$
• Altura: $h = 5 \text{ m}$
• Volume: $V_1 = 100 \text{ m}^3$

A equação do volume de $C_1$ é: $V_1 = \pi \cdot r_1^2 \cdot h$

Para o reservatório $C_2$:

• Raio da base: $r_2 = 2 \cdot r_1$ (o dobro do raio de $C_1$)
• Altura: $h = 5 \text{ m}$ (a mesma altura de $C_1$)
• Volume: $V_2$

Substituindo essas informações na fórmula do volume para $C_2$, temos: $V_2 = \pi \cdot (2 \cdot r_1)^2 \cdot h$

Lembre-se de que, ao elevar um produto ao quadrado, elevamos cada um dos fatores. Assim, $(2 \cdot r_1)^2 = 4 \cdot r_1^2$. Substituindo isso na equação: $V_2 = \pi \cdot 4 \cdot r_1^2 \cdot h$ $V_2 = 4 \cdot (\pi \cdot r_1^2 \cdot h)$

Note que a parte entre parênteses é exatamente a expressão do volume do primeiro reservatório ($V_1$). Portanto, podemos reescrever o volume de $C_2$ como: $V_2 = 4 \cdot V_1$

Isso significa que, ao dobrarmos o raio da base mantendo a mesma altura, o volume do cilindro é multiplicado por $4$.

Por fim, a questão pede a razão entre os volumes de $C_1$ e $C_2$: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{V_1}{4 \cdot V_1}$

Simplificando $V_1$ no numerador e no denominador, chegamos ao resultado: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{4}$

Observação: Note que os valores numéricos de altura ($5 \text{ m}$) e volume ($100 \text{ m}^3$) fornecidos no enunciado não foram necessários para encontrar a resposta, pois a relação de proporção se mantém independentemente desses valores.