Questão 179 do ENEM 2015 — Matemática

ENEM 2015Matemática1ª aplicação

Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo:

  • Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
  • Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
  • Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.

Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III.

ENEM 2015 (adaptado).

Comparando-se essas probabilidades, obtém-se
A
P(I) < P(III) < P(II)
B
P(II) < P(I) < P(III)
C
P(I) < P(II) = P(III)
D
P(I) = P(II) < P(III)
P(I) = P(II) = P(III)
Resposta correta
Gabarito oficial: alternativa E

Resolução comentada

Para resolver essa questão, precisamos calcular a probabilidade de o único atleta dopado ser sorteado em cada um dos três modos propostos.

Primeiro, vamos entender o nosso universo: temos 2020 equipes, cada uma com 1010 atletas. Isso nos dá um total de: 20×10=200 atletas20 \times 10 = 200 \text{ atletas}

Desses 200200 atletas, apenas 11 utilizou a substância proibida. Vamos analisar as probabilidades P(I)P(I), P(II)P(II) e P(III)P(III) separadamente.

Modo I

Neste modo, vamos sortear 33 atletas diretamente do total de 200200 participantes. A probabilidade de um atleta específico (o dopado) ser um dos 33 sorteados é simplesmente a razão entre o número de vagas no sorteio e o número total de atletas. P(I)=3200P(I) = \frac{3}{200}

Modo II

Aqui, o sorteio acontece em duas etapas. Precisamos que ambas as etapas deem "certo" para o atleta dopado ser pego.

  1. Sortear a equipe do atleta dopado: Como há 2020 equipes e ele pertence a apenas 11 delas, a probabilidade é 120\frac{1}{20}.
  2. Sortear o atleta dentro da equipe: Uma vez que a equipe dele foi sorteada, precisamos que ele seja um dos 33 escolhidos entre os 1010 membros da equipe. A probabilidade disso é 310\frac{3}{10}.

Como os eventos são sucessivos e dependentes, multiplicamos as probabilidades: P(II)=120×310=3200P(II) = \frac{1}{20} \times \frac{3}{10} = \frac{3}{200}

Modo III

Este modo também ocorre em duas etapas:

  1. Sortear a equipe do atleta dopado entre as 3 escolhidas: Serão sorteadas 33 equipes de um total de 2020. A probabilidade de a equipe do atleta estar entre essas 33 é 320\frac{3}{20}.
  2. Sortear o atleta dentro da equipe: Sabendo que a equipe dele foi uma das sorteadas, agora será sorteado apenas 11 atleta entre os 1010 da equipe. A probabilidade de ele ser o escolhido é 110\frac{1}{10}.

Novamente, multiplicamos as probabilidades das etapas: P(III)=320×110=3200P(III) = \frac{3}{20} \times \frac{1}{10} = \frac{3}{200}

Conclusão

Comparando os três resultados, percebemos que a chance de o atleta dopado ser sorteado é exatamente a mesma em qualquer um dos métodos propostos pelos organizadores: P(I)=P(II)=P(III)=3200P(I) = P(II) = P(III) = \frac{3}{200}

Portanto, a alternativa correta é a que indica a igualdade entre as três probabilidades.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2015 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.