Questão 175 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos pensar no princípio da conservação do volume. A água não desaparece; ela apenas muda de lugar. O volume total de água que estava inicialmente no reservatório central vai se espalhar para preencher os quatro canos de ligação e, em seguida, subir até uma altura de equilíbrio $h$ em todos os cinco reservatórios (o central e os quatro auxiliares), pelo princípio dos vasos comunicantes.

O grande detalhe desta questão, onde muitos alunos acabam tropeçando, é esquecer os canos! A água também ocupa espaço dentro deles, e precisamos descontar esse volume.

## Calculando o Volume Inicial

No início, apenas o reservatório central ($R_c$) está cheio. Ele é um cilindro com raio $R = 2 \text{ m}$ e altura $H = 3,30 \text{ m}$. A fórmula do volume do cilindro é $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$.

$V_{\text{inicial}} = \pi \cdot (2)^2 \cdot 3,30$
$V_{\text{inicial}} = \pi \cdot 4 \cdot 3,30$
$V_{\text{inicial}} = 13,2\pi \text{ m}^3$

Dica de ouro: Não substitua o $\pi$ por $3,14$. Deixe-o indicado, pois ele vai aparecer em todos os termos e poderemos simplificá-lo no final, poupando muito tempo de prova!

## Calculando o Volume dos Canos

A água vai preencher totalmente os 4 canos. Cada cano é um cilindro deitado com comprimento (que funciona como a altura do cilindro) de $20 \text{ m}$ e diâmetro de $0,10 \text{ m}$. Se o diâmetro é $0,10 \text{ m}$, o raio é a metade: $r_{\text{cano}} = 0,05 \text{ m}$.

O volume de um único cano é:
$V_{\text{um cano}} = \pi \cdot (0,05)^2 \cdot 20$
$V_{\text{um cano}} = \pi \cdot 0,0025 \cdot 20$
$V_{\text{um cano}} = 0,05\pi \text{ m}^3$

Como são 4 canos idênticos, o volume total retido neles será:
$V_{\text{canos}} = 4 \cdot 0,05\pi = 0,2\pi \text{ m}^3$

## Calculando o Volume Final nos Reservatórios

Após o fluxo cessar, a água atingirá uma mesma altura $h$ em todos os reservatórios.

Volume final no reservatório central:
$V_{\text{final } R_c} = \pi \cdot (2)^2 \cdot h = 4\pi h$

Volume final nos 4 reservatórios auxiliares (que possuem raio $r = 1,5 \text{ m}$):
$V_{\text{final aux}} = 4 \cdot (\pi \cdot (1,5)^2 \cdot h)$
$V_{\text{final aux}} = 4 \cdot (\pi \cdot 2,25 \cdot h)$
$V_{\text{final aux}} = 9\pi h$

O volume total de água que ficará armazenado nos reservatórios será a soma desses dois:
$V_{\text{reservatórios}} = 4\pi h + 9\pi h = 13\pi h$

## Montando a Equação de Equilíbrio

Agora, igualamos o volume inicial à soma de onde a água foi parar (reservatórios + canos):

$V_{\text{inicial}} = V_{\text{reservatórios}} + V_{\text{canos}}$
$13,2\pi = 13\pi h + 0,2\pi$

Podemos dividir toda a equação por $\pi$ para simplificar a nossa vida:
$13,2 = 13h + 0,2$

Agora, basta isolar a altura $h$:
$13,2 - 0,2 = 13h$
$13 = 13h$
$h = \frac{13}{13}$
$h = 1,00 \text{ m}$

Portanto, a altura das colunas de água nos reservatórios auxiliares, após o sistema entrar em equilíbrio, será exatamente de $1,00 \text{ m}$.