Questão 160 do ENEM 2009 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos primeiro entender claramente quais são as exigências do fazendeiro e, em seguida, analisar a proposta original da cooperativa para ver o que precisa ser ajustado.

Analisando as exigências do fazendeiro

O fazendeiro impôs duas condições para fechar o contrato:

1. Meta de colheita: Colher $180$ hectares em $6$ dias. Isso significa que a equipe precisa colher, por dia, uma média de: $\frac{180 \text{ hectares}}{6 \text{ dias}} = 30 \text{ hectares/dia}$
2. Meta de custo: O gasto total nesses $6$ dias deve ser inferior a \text{R\} \ 25.000,00$.

Analisando a proposta original da cooperativa

A cooperativa ofereceu $12$ trabalhadores e $4$ máquinas trabalhando $6$ horas por dia. Com essa configuração, eles conseguem colher $20$ hectares por dia.

Vamos calcular o custo diário dessa proposta:

• Custo dos trabalhadores: 12 \times \text{R\} \ 10,00 = \text{R$} \ 120,00$
• Custo das máquinas: 4 \times \text{R\} \ 1.000,00 = \text{R$} \ 4.000,00$
• Custo total por dia: \text{R\} \ 120,00 + \text{R$} \ 4.000,00 = \text{R$} \ 4.120,00$

Se eles trabalharem por $6$ dias, o custo total será: $6 \times \text{R\$} \ 4.120,00 = \text{R\$} \ 24.720,00$

Note que o custo original (\text{R\} \ 24.720,00$) já atende à exigência financeira do fazendeiro, pois é menor que$\text{R$} \ 25.000,00$. No entanto, a capacidade de colheita é de apenas$20$hectares por dia. Em$6$dias, eles colheriam apenas$120$hectares, o que não atende à exigência de$180$ hectares.

Precisamos de uma alternativa que aumente a colheita diária de $20$ para $30$ hectares (um aumento de $50\%$) sem que o custo total ultrapasse os \text{R\} \ 25.000,00$.

Avaliando as alternativas

• A) manter sua proposta: Incorreta, pois colheriam apenas $120$ hectares.
• B) oferecer 4 máquinas a mais: Isso dobraria o número de máquinas, aumentando o custo diário em \text{R\} \ 4.000,00$. O custo total passaria de$\text{R$} \ 48.000,00$, estourando completamente o orçamento.
• C) oferecer 6 trabalhadores a mais: O custo diário aumentaria em 6 \times \text{R\} \ 10,00 = \text{R$} \ 60,00$, passando a ser$\text{R$} \ 4.180,00$. Em$6$dias, o custo seria$6 \times 4.180 = \text{R$} \ 25.080,00$. Isso já ultrapassa o limite de$\text{R$} \ 25.000,00$, sem contar que não há garantia de que apenas mais trabalhadores dariam conta do aumento de$50%$ na produção.
• D) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias: A jornada original é de $6$ horas. Passar para $9$ horas representa um aumento exato de $50\%$ no tempo de trabalho. Como o ritmo é constante, a colheita diária também aumentará em $50\%$, passando de $20$ para $30$ hectares por dia. Como os custos são cobrados por dia de trabalho e por aluguel diário, o valor pago por dia continua sendo \text{R\} \ 4.120,00$. Assim, o custo total em$6$dias permanece$\text{R$} \ 24.720,00$. Essa opção atende perfeitamente a ambas as exigências!
• E) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário: Isso apenas diminuiria o custo, mas não resolveria o problema da falta de capacidade de colheita.

Portanto, a única maneira de atingir a meta de colheita sem estourar o orçamento é aumentando a jornada de trabalho.