Questão 165 do ENEM 2023 — Matemática

Para contar quantos tapetes diferentes podem ser montados, precisamos organizar as peças e aplicar com cuidado a regra de que estampas iguais não podem ficar lado a lado.

Peças e dimensões

O tapete final mede $10\text{ cm} \times 50\text{ cm}$. A costureira usa um retalho grande de $10\text{ cm} \times 20\text{ cm}$ e três retalhos pequenos de $10\text{ cm} \times 10\text{ cm}$. Conferindo o comprimento: $20 + 10 + 10 + 10 = 50\text{ cm}$, exatamente o tapete.

Pelo enunciado, há quatro tipos de retalhos: um retalho grande ($10 \times 20$) e três tipos de retalhos pequenos ($10 \times 10$), cada um com uma estampa distinta.

A regra essencial é: retalhos de mesma estampa não podem ficar lado a lado. Como só existe um retalho grande no tapete e ele tem estampa própria (diferente das dos pequenos), ele nunca gera conflito de estampa igual. A restrição só importa entre dois retalhos pequenos vizinhos.

Posições possíveis para o retalho grande

Pense no tapete como uma sequência de 4 posições, com o retalho grande ocupando uma delas e os três pequenos as demais. O grande pode ficar em 4 posições. Analisamos cada caso com o Princípio Fundamental da Contagem.

Caso 1 — Grande em 1º: Grande · Peq · Peq · Peq

• Grande: $1$ opção.
• 1º pequeno: $3$ opções (qualquer estampa pequena).
• 2º pequeno: $2$ opções (diferente do anterior).
• 3º pequeno: $2$ opções (diferente do anterior).

Total: $1 \times 3 \times 2 \times 2 = 12$.

Caso 2 — Grande em 2º: Peq · Grande · Peq · Peq

• 1º pequeno: $3$ opções.
• Grande: $1$ opção.
• Próximo pequeno: $3$ opções — ele fica ao lado do retalho grande (estampa diferente), então não sofre restrição do primeiro pequeno.
• Último pequeno: $2$ opções (diferente do anterior).

Total: $3 \times 1 \times 3 \times 2 = 18$.

Caso 3 — Grande em 3º: Peq · Peq · Grande · Peq

• 1º pequeno: $3$ opções.
• 2º pequeno: $2$ opções (diferente do 1º).
• Grande: $1$ opção.
• Último pequeno: $3$ opções — está isolado pelo retalho grande, logo pode ter qualquer estampa.

Total: $3 \times 2 \times 1 \times 3 = 18$.

Caso 4 — Grande em 4º: Peq · Peq · Peq · Grande

• 1º pequeno: $3$ opções.
• 2º pequeno: $2$ opções (diferente do 1º).
• 3º pequeno: $2$ opções (diferente do 2º).
• Grande: $1$ opção.

Total: $3 \times 2 \times 2 \times 1 = 12$.

Observação: como o enunciado garante pelo menos duas unidades de cada retalho, nenhuma dessas combinações exige usar um mesmo retalho pequeno mais de duas vezes.

Conclusão

Somando todos os casos: $12 + 18 + 18 + 12 = 60$

Portanto, podem ser confeccionados 60 modelos diferentes de tapetes, o que corresponde à alternativa E.