Questão 178 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender como a mudança no tamanho do docinho afeta a quantidade de massa necessária para produzi-lo. A chave aqui é lembrar da relação entre as dimensões lineares (como o raio ou diâmetro) e o volume de um sólido tridimensional.

Primeiro, vamos analisar as dimensões dos docinhos:

• Docinho original: tem diâmetro de $2 \text{ cm}$, o que significa que seu raio é $r_1 = 1 \text{ cm}$.
• Docinho da encomenda: tem diâmetro de $4 \text{ cm}$, logo, seu raio é $r_2 = 2 \text{ cm}$.

Sabemos que os docinhos têm formato esférico. O volume de uma esfera é dado pela fórmula: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$

Observe que o volume é proporcional ao cubo do raio. Quando comparamos o docinho da encomenda com o original, vemos que o raio dobrou (passou de $1 \text{ cm}$ para $2 \text{ cm}$). Se a dimensão linear (raio) é multiplicada por $2$, o volume será multiplicado por $2^3$: $2^3 = 8$

Isso significa que um único docinho da encomenda gasta a mesma quantidade de massa que $8$ docinhos originais. Não é necessário calcular o volume exato com o valor de $\pi$, basta usar essa proporção.

Agora, vamos calcular a quantidade total de massa necessária para atender ao cliente. O pedido é de $150$ docinhos grandes. Como cada um equivale a $8$ docinhos pequenos em volume de massa, a encomenda total equivale a: $150 \times 8 = 1200 \text{ docinhos originais}$

A cozinheira sabe que uma porção da receita-base rende exatamente $50$ docinhos originais. Para descobrir quantas porções ela precisa preparar, basta dividir a quantidade total equivalente de docinhos originais pelo rendimento de uma única porção: $\text{Número de porções} = \frac{1200}{50}$

Simplificando a fração (cortando os zeros): $\text{Número de porções} = \frac{120}{5} = 24$

Portanto, a cozinheira precisará preparar $24$ porções da receita-base para conseguir massa suficiente e atender ao pedido do cliente. A resposta correta é a alternativa E.