Questão 142 do ENEM 2024 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender o padrão de crescimento do número de figuras a cada etapa. A ação de "copiar e colar" o que havia na etapa anterior significa que a quantidade de figuras é dobrada a cada nova etapa.

Segundo o enunciado ilustrado, a etapa inicial parte de uma quantidade fixa de figuras (na 1ª etapa foram inseridas 3 figuras iguais) e, a partir daí, cada etapa reproduz ao lado tudo o que havia na etapa anterior. Vamos acompanhar o padrão:

• Etapa 1: quantidade inicial de $3$ figuras.
• Etapa 2: copia as $3$ e cola ao lado, ficando com o dobro: $3 \times 2 = 6$ figuras.
• Etapa 3: copia as $6$ e cola, dobrando novamente: $6 \times 2 = 12$ figuras, o que equivale a $3 \times 2^2$.
• Etapa 4: dobrando mais uma vez, $12 \times 2 = 24$ figuras, ou seja, $3 \times 2^3$.

Perceba que estamos diante de uma Progressão Geométrica (PG). Em uma PG, cada termo a partir do segundo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante, a razão ($q$).

Neste caso:

• O primeiro termo (quantidade inicial de figuras) é $a_1 = 3$.
• A razão (fator de multiplicação a cada etapa) é $q = 2$.

A fórmula do termo geral de uma PG nos dá a quantidade de figuras em qualquer etapa $n$: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

O expoente é $n - 1$ porque a duplicação só começa a partir da segunda etapa. Na primeira etapa, o expoente do $2$ é zero ($2^0 = 1$), mantendo apenas as figuras iniciais.

A questão pede o total de figuras na 20ª etapa, ou seja, o valor de $a_{20}$. Substituindo na fórmula: $a_{20} = 3 \cdot 2^{20 - 1}$ $a_{20} = 3 \cdot 2^{19}$

Um erro comum é pensar que, por ser a 20ª etapa, o expoente deveria ser $20$ (o que levaria à alternativa B). Mas, como vimos, a primeira etapa não sofre duplicação, então o número de vezes que multiplicamos por $2$ é sempre uma unidade menor que o número da etapa.

Portanto, a mensagem enviada continha um total de $3 \times 2^{19}$ figuras.