Questão 100 do ENEM 2019 — Ciências da Natureza

Para resolvermos essa questão, precisamos determinar o tamanho da lente (seu raio) capaz de captar energia solar suficiente para alimentar um chuveiro elétrico, levando em conta as perdas de energia do sistema.

Primeiro, vamos organizar as informações que o problema nos fornece:

• Potência útil desejada (potência do chuveiro): $P_{\text{útil}} = 2\ 000\ \text{W}$
• Intensidade da energia solar incidente: $I = 1\ 000\ \text{W/m}^2$
• Eficiência do sistema: $\eta = 50\% = 0,5$
• Aproximação fornecida: $\sqrt{\pi} = 1,8$

Sabemos que o sistema não é perfeito, ou seja, ele converte apenas $50\%$ da energia solar que recebe em energia elétrica. Isso significa que a potência total ($P_{\text{total}}$) que a lente precisa captar do Sol deve ser maior que a potência do chuveiro. Podemos relacionar essas grandezas pela fórmula do rendimento:

$P_{\text{útil}} = \eta \cdot P_{\text{total}}$

Substituindo os valores:

$2\ 000 = 0,5 \cdot P_{\text{total}}$

$P_{\text{total}} = \frac{2\ 000}{0,5} = 4\ 000\ \text{W}$

Isso significa que a lente precisa captar $4\ 000\ \text{W}$ de potência solar para que, após as perdas, restem os $2\ 000\ \text{W}$ necessários para o chuveiro.

Agora, precisamos descobrir qual deve ser a área ($A$) dessa lente para captar essa quantidade de energia. A intensidade da radiação solar ($I$) nos diz quanta potência incide por metro quadrado. A relação entre potência total, intensidade e área é dada por:

$P_{\text{total}} = I \cdot A$

Substituindo os valores que temos:

$4\ 000 = 1\ 000 \cdot A$

$A = \frac{4\ 000}{1\ 000} = 4\ \text{m}^2$

Como a lente é circular, a sua área é calculada pela fórmula da área do círculo:

$A = \pi \cdot R^2$

Onde $R$ é o raio da lente. Substituindo a área que encontramos:

$4 = \pi \cdot R^2$

Isolando o raio ($R$):

$R^2 = \frac{4}{\pi}$

$R = \sqrt{\frac{4}{\pi}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{\pi}} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}$

O enunciado nos pede para considerar $\sqrt{\pi} = 1,8$. Substituindo esse valor na equação:

$R = \frac{2}{1,8}$

Para facilitar a divisão, podemos multiplicar o numerador e o denominador por $10$:

$R = \frac{20}{18} = \frac{10}{9}$

Fazendo a divisão de $10$ por $9$, obtemos uma dízima periódica:

$R \approx 1,111...\ \text{m}$

Arredondando, o raio da lente deve ser de aproximadamente $1,11\ \text{m}$.