Questão 156 do ENEM 2017 — Matemática

O raio da tampa desenhada corresponde à distância entre a ponta seca do compasso (ponto $C$) e a ponta do grafite (ponto $B$). A figura mostra o compasso com abertura de $120^\circ$ no vértice $A$ e as duas hastes de $10 \text{ cm}$.

Analisando a figura

O compasso forma um triângulo $ABC$, em que:

• Os lados $AC$ e $AB$ são as hastes, ambas com $10 \text{ cm}$.
• O ângulo no vértice $A$ (cabeça do compasso) é de $120^\circ$.
• O lado $CB$ é o raio $R$ que queremos encontrar.

Como dois lados são iguais ($10 \text{ cm}$), o triângulo $ABC$ é isósceles.

Calculando o raio

Vamos dividir o triângulo isósceles em dois triângulos retângulos. A soma dos ângulos internos é $180^\circ$; se o ângulo do topo mede $120^\circ$, sobram $60^\circ$ para os dois ângulos da base, ou seja, $30^\circ$ em cada um.

Traçando a altura do vértice $A$ até a base $CB$, ela divide a base ao meio e forma um triângulo retângulo em que:

• A hipotenusa é a haste: $10 \text{ cm}$.
• O ângulo da base é $30^\circ$.
• O cateto adjacente a esse ângulo é metade do raio: $\frac{R}{2}$.

Usando o cosseno de $30^\circ$: $\cos(30^\circ) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}$ $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{R}{2}}{10}$ $\frac{R}{2} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ $R = 10\sqrt{3} \text{ cm}$

(O mesmo resultado sai direto pela Lei dos Cossenos aplicada ao triângulo original.)

Encontrando o material adequado

Usando a aproximação $\sqrt{3} \approx 1,7$: $R \approx 10 \cdot 1,7 = 17 \text{ cm}$

Consultando a tabela, $17 \text{ cm}$ está no intervalo $15 < R \le 21$, que corresponde ao material do tipo IV.

Portanto, a alternativa correta é a D.