Questão 171 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos distribuir as cores pelos $12$ vagões do trem. Como os vagões são numerados, eles representam posições distintas. O nosso objetivo é descobrir de quantas maneiras diferentes podemos escolher quais vagões receberão cada cor.

A Ferramenta Matemática

A ordem em que escolhemos os vagões para uma mesma cor não importa. Por exemplo, escolher os vagões $1$, $2$, $3$ e $4$ para pintar de vermelho resulta no mesmo trem que escolher os vagões $4$, $3$, $2$ e $1$. Quando a ordem de escolha dentro de um grupo não altera o resultado final, utilizamos Combinações Simples, representadas por $C_{n}^{k}$ (onde $n$ é o total de opções disponíveis e $k$ é a quantidade que vamos escolher).

Pintando o Trem Etapa por Etapa

Vamos realizar as escolhas cor por cor. O grande detalhe desta questão é lembrar que, uma vez que um vagão é pintado, ele não pode ser escolhido novamente para outra cor. O nosso total de vagões disponíveis diminui a cada etapa.

Cor Vermelha: Temos $12$ vagões vazios e precisamos escolher $4$ para pintar de vermelho. O número de possibilidades é $C_{12}^{4}$. Após essa pintura, sobram $12 - 4 = 8$ vagões vazios.

Cor Azul: Agora, temos apenas $8$ vagões disponíveis e precisamos escolher $3$ para pintar de azul. O número de possibilidades é $C_{8}^{3}$. Sobram $8 - 3 = 5$ vagões vazios.

Cor Verde: Dos $5$ vagões restantes, escolhemos $3$ para pintar de verde. O número de possibilidades é $C_{5}^{3}$. Sobram $5 - 3 = 2$ vagões vazios.

Cor Amarela: Finalmente, para os $2$ vagões que sobraram, precisamos escolher $2$ para pintar de amarelo. O número de possibilidades é $C_{2}^{2}$ (que é igual a $1$, pois só há uma maneira de pintar os dois últimos vagões com a última cor).

Juntando as Etapas

Para montar o trem completo, nós precisamos pintar os vagões de vermelho E de azul E de verde E de amarelo. Na análise combinatória, quando temos decisões sucessivas que formam um único resultado final, aplicamos o Princípio Fundamental da Contagem (Princípio Multiplicativo). Ou seja, devemos multiplicar as possibilidades de cada etapa.

A expressão final que representa a quantidade total de trens que podem ser montados é:

$C_{12}^{4} \times C_{8}^{3} \times C_{5}^{3} \times C_{2}^{2}$

Note que algumas alternativas tentam induzir ao erro:

• A alternativa A está incorreta porque não desconta os vagões que já foram pintados (mantém o $12$ em todas as combinações, o que significaria pintar o mesmo vagão várias vezes).
• A alternativa B está incorreta porque soma as combinações em vez de multiplicá-las (usaríamos a soma se fôssemos pintar o trem inteiro de vermelho OU inteiro de azul, o que não é o caso).

A expressão que construímos corresponde exatamente à alternativa E.