Questão 172 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos analisar a função que descreve o lucro da empresa. O enunciado nos diz que o lucro $L$ em função do preço $x$ da barra de chocolate é dado pela expressão:

$L(x) = -x^2 + 14x - 45$

Nosso objetivo é descobrir qual deve ser o preço $x$ para que o lucro $L(x)$ seja o maior possível.

Observe que a função $L(x)$ é uma função polinomial do 2º grau (ou função quadrática), cujo gráfico é uma parábola. Como o coeficiente que acompanha o $x^2$ é negativo ($a = -1$), essa parábola tem a concavidade voltada para baixo. Isso significa que ela possui um ponto de máximo absoluto, que é exatamente o vértice da parábola.

Para encontrar o valor de $x$ que maximiza a função (conhecido como o $x$ do vértice, ou $x_v$), utilizamos a seguinte fórmula:

$x_v = \frac{-b}{2a}$

Na nossa função $L(x) = -x^2 + 14x - 45$, temos os seguintes coeficientes:

• $a = -1$
• $b = 14$

Substituindo esses valores na fórmula do $x_v$:

$x_v = \frac{-14}{2 \cdot (-1)}$ $x_v = \frac{-14}{-2}$ $x_v = 7$

Isso significa que o lucro será máximo quando o preço da barra de chocolate for de R$ 7,00.

Agora, basta olharmos para as opções de barras de chocolate fornecidas pela empresa:

• Barra I: R$ 2,00
• Barra II: R$ 3,50
• Barra III: R$ 4,00
• Barra IV: R$ 7,00
• Barra V: R$ 8,00

Como o preço ideal para obter o maior lucro é R$ 7,00, a empresa deverá investir na produção da Barra IV.