Questão 169 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos encontrar um intervalo para a escala que satisfaça duas condições ao mesmo tempo: os limites de tamanho para o desenho do guindaste e o limite mínimo para o desenho da esteira.

Padronizando as Unidades

A primeira coisa a fazer em problemas de escala é deixar todas as medidas na mesma unidade. Como as restrições do desenho estão em centímetros ($\text{cm}$), vamos converter as medidas reais do navio de metros ($\text{m}$) para centímetros multiplicando por $100$:

• Guindaste: $15 \text{ m} = 1500 \text{ cm}$
• Esteira: $90 \text{ m} = 9000 \text{ cm}$

A Lógica da Escala

A escala $1:X$ nos diz que a medida no desenho ($d$) é igual à medida real ($R$) dividida pelo fator de redução $X$. Ou seja:

$d = \frac{R}{X} \implies X = \frac{R}{d}$

Aqui mora o grande segredo da questão: o tamanho do desenho e o valor de $X$ são inversamente proporcionais. Se você quer um desenho maior, precisa dividir a realidade por um $X$ menor. Se quer um desenho menor, precisa de um $X$ maior.

Analisando o Guindaste

O enunciado diz que a representação do guindaste deve ter entre $0,5 \text{ cm}$ e $1 \text{ cm}$. Vamos calcular os valores de $X$ para esses dois extremos usando a medida real de $1500 \text{ cm}$.

Para o tamanho máximo do desenho ($d = 1 \text{ cm}$): $X = \frac{1500}{1} = 1500$ Como este é o maior desenho possível, ele nos dá o menor valor aceitável de $X$.

Para o tamanho mínimo do desenho ($d = 0,5 \text{ cm}$): $X = \frac{1500}{0,5} = 3000$ Como este é o menor desenho possível, ele nos dá o maior valor aceitável de $X$.

Portanto, para que o guindaste fique no tamanho certo, precisamos que o fator de escala esteja no seguinte intervalo: $1500 < X < 3000$

Analisando a Esteira

A regra para a esteira é que seu desenho deve ter um comprimento superior a $4 \text{ cm}$. Vamos calcular o valor limite de $X$ usando a medida real de $9000 \text{ cm}$ e o desenho limite de $4 \text{ cm}$:

$X = \frac{9000}{4} = 2250$

Agora, atenção à regra da proporção inversa que vimos no início: para que o desenho seja maior que $4 \text{ cm}$, o nosso divisor $X$ precisa ser menor que $2250$.

Logo, a condição exclusiva para a esteira funcionar é: $X < 2250$

A Interseção das Condições

O valor de $X$ escolhido pela empresa de comunicação precisa obedecer às duas regras simultaneamente para que o material publicitário fique correto.

• Pelo guindaste: $X$ deve ser maior que $1500$ e menor que $3000$.
• Pela esteira: $X$ deve ser estritamente menor que $2250$.

Juntando essas informações, percebemos que o valor de $X$ deve começar acima de $1500$, mas não pode chegar até $3000$, pois a esteira impõe um "teto" mais baixo, que é $2250$.

Assim, o intervalo final que satisfaz ambas as condições é: $1500 < X < 2250$

Isso corresponde exatamente à alternativa C.