Questão 176 do ENEM 2018 — Matemática

ENEM 2018Matemática2ª aplicação

Uma empresa de construção comprou um terreno de formato retangular por R\$ 700 000,00. O terreno tem 90 m de comprimento e 240 m de largura. O engenheiro da empresa elaborou três projetos diferentes para serem avaliados pela direção da construtora, da seguinte maneira:

Projeto 1: dividir o terreno em lotes iguais de $45\text{ m} \times 10\text{ m}$, sem ruas entre os lotes, e vender cada lote por R\$ 23 000,00;

Projeto 2: dividir o terreno em lotes iguais de $20\text{ m} \times 30\text{ m}$, deixando entre lotes ruas de 10 m de largura e 240 m de comprimento, e vender cada lote por R\$ 35 000,00;

Projeto 3: dividir o terreno em lotes iguais de $35\text{ m} \times 20\text{ m}$, deixando entre lotes ruas de 20 m de largura e 240 m de comprimento, e vender cada lote por R\$ 45 000,00.

A direção da empresa decidiu dividir o terreno e utilizar o projeto que permitirá o maior lucro, sendo que este será igual ao valor obtido pela venda dos lotes, menos o valor da compra do terreno.

Nesse caso, o lucro da construtora, em real, será de
A
380 000,00.
404 000,00.
Resposta correta
C
1 104 000,00.
D
1 120 000,00.
E
1 460 000,00.
Gabarito oficial: alternativa B

Resolução comentada

O lucro de cada projeto é a receita da venda dos lotes menos o custo do terreno (R$ 700.000,00). Vamos calcular projeto a projeto.

O terreno mede 90 m90\text{ m} por 240 m240\text{ m}. Analisaremos cada projeto para descobrir quantos lotes cabem e qual será o lucro.

Projeto 1

Lotes de 45 m×10 m45\text{ m} \times 10\text{ m}, sem ruas entre eles. Basta verificar se as dimensões dos lotes cabem nas do terreno:

  • No lado de 90 m90\text{ m}: 90÷45=290 \div 45 = 2 lotes.
  • No lado de 240 m240\text{ m}: 240÷10=24240 \div 10 = 24 lotes.

Total: 2×24=482 \times 24 = 48 lotes.

  • Receita: 48×48 \times R$ 23.000,00 == R$ 1.104.000,00
  • Lucro: R$ 1.104.000,00 −- R$ 700.000,00 == R$ 404.000,00

Projeto 2

Lotes de 20 m×30 m20\text{ m} \times 30\text{ m}, com ruas de 10 m10\text{ m} de largura por 240 m240\text{ m} de comprimento. Como as ruas têm 240 m240\text{ m} de comprimento, elas são paralelas ao lado de 240 m240\text{ m} do terreno. Logo, o lado de 90 m90\text{ m} é dividido entre a largura dos lotes e a largura das ruas.

Opção A: lado de 30 m30\text{ m} do lote ao longo dos 240 m240\text{ m}.

  • Lotes por fileira: 240÷30=8240 \div 30 = 8.
  • No lado de 90 m90\text{ m}, fileiras de 20 m20\text{ m} separadas por ruas de 10 m10\text{ m}. Com nn fileiras há n−1n-1 ruas: 20n+10(n−1)≤90  ⟹  30n−10≤90  ⟹  30n≤100  ⟹  n=320n + 10(n-1) \le 90 \implies 30n - 10 \le 90 \implies 30n \le 100 \implies n = 3
  • Total: 3×8=243 \times 8 = 24 lotes.

Opção B: lado de 20 m20\text{ m} do lote ao longo dos 240 m240\text{ m}.

  • Lotes por fileira: 240÷20=12240 \div 20 = 12.
  • No lado de 90 m90\text{ m}, fileiras de 30 m30\text{ m} separadas por ruas de 10 m10\text{ m}: 30n+10(n−1)≤90  ⟹  40n−10≤90  ⟹  40n≤100  ⟹  n=230n + 10(n-1) \le 90 \implies 40n - 10 \le 90 \implies 40n \le 100 \implies n = 2
  • Total: 2×12=242 \times 12 = 24 lotes.

Em ambas as disposições, no máximo 2424 lotes.

  • Receita: 24×24 \times R$ 35.000,00 == R$ 840.000,00
  • Lucro: R$ 840.000,00 −- R$ 700.000,00 == R$ 140.000,00

Projeto 3

Lotes de 35 m×20 m35\text{ m} \times 20\text{ m}, com ruas de 20 m20\text{ m} de largura por 240 m240\text{ m} de comprimento (mesma lógica do Projeto 2).

Opção A: lado de 20 m20\text{ m} do lote ao longo dos 240 m240\text{ m}.

  • Lotes por fileira: 240÷20=12240 \div 20 = 12.
  • No lado de 90 m90\text{ m}, fileiras de 35 m35\text{ m} separadas por ruas de 20 m20\text{ m}: 35n+20(n−1)≤90  ⟹  55n−20≤90  ⟹  55n≤110  ⟹  n=235n + 20(n-1) \le 90 \implies 55n - 20 \le 90 \implies 55n \le 110 \implies n = 2
  • Total: 2×12=242 \times 12 = 24 lotes.

(Invertendo a posição, caberiam apenas 240÷35≈6240 \div 35 \approx 6 lotes por fileira, resultando em menos lotes.)

Com 2424 lotes:

  • Receita: 24×24 \times R$ 45.000,00 == R$ 1.080.000,00
  • Lucro: R$ 1.080.000,00 −- R$ 700.000,00 == R$ 380.000,00

Conclusão

Comparando os lucros:

  • Projeto 1: R$ 404.000,00
  • Projeto 2: R$ 140.000,00
  • Projeto 3: R$ 380.000,00

O maior lucro é o do Projeto 1. A resposta correta é a alternativa B) 404.000,00.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2018 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.