Questão 168 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos relacionar as medidas dos dois círculos com as medidas do quadrado $ABCD$. Vamos chamar o lado desse quadrado de $L$.

O Círculo Menor (Inscrito)

O círculo menor está inscrito no quadrado. Isso significa que ele tangencia os quatro lados do quadrado. Observando a figura, podemos notar que o diâmetro desse círculo tem exatamente a mesma medida do lado do quadrado. Se o diâmetro é $L$, o raio do círculo menor (vamos chamá-lo de $r$) é a metade do lado: $r = \frac{L}{2}$

A área do círculo menor, que o enunciado chama de $S_1$, é dada pela fórmula da área do círculo ($\pi \cdot \text{raio}^2$): $S_1 = \pi \cdot \left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{\pi \cdot L^2}{4}$

O Círculo Maior (Circunscrito)

O círculo maior circunscreve o quadrado, ou seja, ele passa pelos quatro vértices $A$, $B$, $C$ e $D$. Nesse caso, o diâmetro do círculo maior corresponde à diagonal do quadrado. Lembrando da geometria plana, a diagonal de um quadrado de lado $L$ mede $L\sqrt{2}$. Portanto, o raio do círculo maior (vamos chamá-lo de $R$) é a metade da diagonal: $R = \frac{L\sqrt{2}}{2}$

A área do círculo maior, chamada de $S_2$, será: $S_2 = \pi \cdot \left(\frac{L\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{L^2 \cdot 2}{4} = \frac{2\pi \cdot L^2}{4} = \frac{\pi \cdot L^2}{2}$

Calculando a Razão

O comando da questão pede a razão da área do círculo maior ($S_2$) para a área do círculo menor ($S_1$). Para encontrar essa razão, basta dividirmos $S_2$ por $S_1$: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{\pi \cdot L^2}{2}}{\frac{\pi \cdot L^2}{4}}$

Para resolver essa divisão de frações, mantemos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot L^2}{2} \cdot \frac{4}{\pi \cdot L^2}$

Podemos simplificar o termo $\pi \cdot L^2$ que aparece no numerador e no denominador: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{4}{2} = 2$

Dica extra: Uma forma mais rápida de resolver seria lembrar que a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança (a razão entre seus comprimentos lineares). A razão entre os raios é $\frac{R}{r} = \frac{\frac{L\sqrt{2}}{2}}{\frac{L}{2}} = \sqrt{2}$. Elevando ao quadrado, temos $(\sqrt{2})^2 = 2$.